Uma partícula carregada se move através de uma região do espaço com velocidade constante (módulo, direção e sentido).
Se o campo elétrico externo for igual a zero na região, você pode concluir que o campo magnético externo na região também é igual a zero? Explique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informações dadas:
    • Uma partícula carregada move-se com velocidade constante (módulo, direção e sentido constantes) numa determinada região do espaço.
    • O campo elétrico externo na região é nulo: \mathbf{E}=0.
    • A partícula tem carga (implícito: carga não nula) e velocidade não nula (implícito pelo movimento).
  • Pergunta:
    • Podemos concluir que o campo magnético externo \mathbf{B} nessa região também é igual a zero? Explique.

Passo 2

Lembra da força que age numa carga em campos elétricos e magnéticos — a força de Lorentz. A expressão é
\mathbf{F}=q\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr),
onde:
  • \mathbf{F} é a força resultante sobre a partícula (vetor),
  • q é a carga da partícula (escalar, pode ser positivo ou negativo),
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor),
  • \mathbf{v} é a velocidade da partícula (vetor),
  • \mathbf{B} é o campo magnético (vetor),
  • \times é o produto vetorial (cross product).
Expliquei rápido o produto vetorial porque é crucial: para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b},
\mathbf{a}\times\mathbf{b}
é um vetor perpendicular a ambos; seu módulo é \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Em particular, se \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0} então ou \mathbf{a}=\mathbf{0} ou \mathbf{b}=\mathbf{0} ou os vetores são paralelos (ângulo \theta=0 ou \pi).

Passo 3

A partícula tem velocidade constante (módulo e direção constantes), logo sua aceleração é nula:
\mathbf{a}=\mathbf{0}.
Pela segunda lei de Newton, \mathbf{F}=m\mathbf{a}. Como \mathbf{a}=\mathbf{0}, a força total sobre a partícula é nula:
\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Agora uso a fórmula da força de Lorentz com a informação \mathbf{E}=0. Substituindo:
\mathbf{0}=\mathbf{F}=q\bigl(\mathbf{0}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).

Passo 4

Da igualdade q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})=\mathbf{0} seguimos: se q\neq 0 (a partícula é carregada) então
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0}.
Pelo comentário sobre o produto vetorial, isso implica que, ao longo da trajetória considerada, ou \mathbf{v}=\mathbf{0} (não é o caso aqui), ou \mathbf{B}=\mathbf{0}, ou \mathbf{B} é colinear (paralelo) a \mathbf{v}. Como foi dado que a partícula está em movimento ( \mathbf{v}\neq\mathbf{0}), obtemos que, ao longo da trajetória,
\mathbf{B}=\lambda\,\mathbf{v}
para algum escalar \lambda (que pode variar de ponto a ponto, desde que em cada ponto \mathbf{B} seja paralelo a \mathbf{v}), ou \mathbf{B}=\mathbf{0}.

Passo 5

Interpretação física (aulas práticas para a prova): a força magnética sobre uma carga é sempre perpendicular à velocidade, pois é proporcional a \mathbf{v}\times\mathbf{B}. Uma força perpendicular só muda a direção da velocidade (curva a trajetória), não o módulo. Então:
  • Se a direção e o sentido da velocidade permanecem constantes, a componente da força magnética perpendicular a \mathbf{v} deve ser zero em todo ponto da trajetória. Isso só acontece se \mathbf{B} não tiver componente perpendicular a \mathbf{v}; ou seja, \mathbf{B} deve ser paralelo a \mathbf{v} (ou nulo).
  • Logo, a informação “ \mathbf{v} constante” + “ \mathbf{E}=0” não força \mathbf{B}=0; permite \mathbf{B}\neq 0 desde que \mathbf{B} seja paralelo à velocidade da partícula na região considerada.

Passo 6

Exemplos concretos (para fixar e poder usar na prova):
  • Caso \mathbf{v}=v\hat{z} e \mathbf{B}=B\hat{z} com v\neq0 e B\neq0, então
    \mathbf{v}\times\mathbf{B}=v\hat{z}\times B\hat{z}=\mathbf{0},
    portanto a força magnética é nula e a partícula segue em linha reta com velocidade constante — mesmo com \mathbf{B}\neq0.
  • Caso contrário, se \mathbf{B} tiver qualquer componente perpendicular a \mathbf{v}, a força magnética será \neq0 e então a direção da velocidade mudaria (trajetória curva), o que contraria a hipótese do enunciado.

Passo 7

Observações finais e pequenos cuidados:
  • Se existirem outras forças externas não eletromagnéticas (força de contato, forças gravitacionais significativas etc.), a análise deveria incluí-las; mas aqui presumimos que só consideramos forças elétricas e magnéticas como relevantes (contexto típico do exercício).
  • Casos degenerate: se q=0 (partícula neutra) não podemos inferir nada sobre \mathbf{B} a partir da equação acima, porque a força magnética é sempre nula para carga nula.

Resposta

Não — não é necessário que \mathbf{B}=0. A condição é apenas que \mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0}, ou seja, \mathbf{B} pode ser nulo ou pode ser não nulo desde que seja paralelo à velocidade \mathbf{v} da partícula em toda a região considerada.

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