A eficiência do ciclo de Otto é dada por:
Onde
é o calor absorvido no ciclo.
Mostrar que, se o fluido de trabalho é um gás ideal monoatômico:
Passo 1
O enunciado dá a definição da eficiência do ciclo de Otto e pede para mostrar duas fórmulas quando o fluido de trabalho é um gás ideal monoatômico. Informações relevantes fornecidas e assumidas (padrão do ciclo de Otto):
- A eficiência é dada por
, onde é o calor absorvido no processo . - No ciclo de Otto ideal temos quatro processos em sequência:
compressão adiabática reversível; aquecimento a volume constante (calor absorvido ); expansão adiabática reversível; rejeição de calor a volume constante. - Das geometrias dos processos:
(processo é isocórico) e (processo é isocórico). - O fluido é um gás ideal monoatômico (isso garante capacidades caloríficas bem definidas; lembre que
; para monoatômico , mas a derivação abaixo usa geral). - O objetivo é mostrar
e
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão da eficiência usando conservação de energia (primeira lei) no ciclo fechado. O trabalho líquido por ciclo
é igual à diferença entre o calor absorvido
e o calor rejeitado
:
A definição usual de eficiência é a razão entre trabalho líquido e calor absorvido (com sinal apropriado). Assim
No ciclo Otto o calor absorvido
é o
(aquecimento a volume constante de
a
) e o calor rejeitado é
(rejeição a volume constante de
a
). Assim podemos trabalhar com
Passo 3
Para processos a volume constante num gás ideal, o calor trocado é relacionado à variação de temperatura por
onde
é o número de mols e
é a capacidade molar a volume constante. Logo:
Substituindo na expressão da eficiência obtém-se
Note que o fator
cancela. Agora precisamos relacionar as temperaturas nas quatro pinturas do ciclo usando os processos adiabáticos.
Passo 4
Para uma transformação adiabática reversível de um gás ideal vale a relação
onde
. Usando a equação de estado
e substituindo em
const, podemos obter a forma útil envolvendo
e
:
Isso significa, aplicando entre os pontos
e
(compressão adiabática) e entre
e
(expansão adiabática):
onde usei que
e
(isocóricos nos ramos
e
).
Passo 5
Reescrevendo as relações adiabáticas para isolar
e
em função de
e
:
Isto vem de simplesmente dividir ambos os lados por
ou
nas igualdades do passo anterior. Essas expressões dizem que tanto
quanto
são as correspondentes
e
multiplicadas por um mesmo fator geométrico
.
Passo 6
Substituímos as expressões de
e
na razão que aparece na eficiência:
Agora, na expressão
substituímos o numerador obtido e vemos que o fator
cancela, resultando em
Portanto
Essa é a primeira fórmula pedida.
Passo 7
Mostramos agora a forma equivalente em termos de temperaturas
e
. Da relação adiabática entre
e
temos
Isto implica
Substituindo na expressão de
do passo anterior obtemos a forma
Comentário prático: para um gás ideal monoatômico
e
, então
; a derivação acima é válida para qualquer
, mas para monoatômico basta substituir esse valor se quiser número.