A eficiência do ciclo de Otto é dada por:
Onde Q_{B C} é o calor absorvido no ciclo.
\varepsilon_{\text {Otto }}=\left(\frac{-W_{\text {liq }}}{Q_{B C}}\right)
Mostrar que, se o fluido de trabalho é um gás ideal monoatômico:
\begin{aligned} & \varepsilon_{\text {Otto }}=1-\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1} \\\ & \varepsilon=1-\frac{T_{A}}{T_{B}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a definição da eficiência do ciclo de Otto e pede para mostrar duas fórmulas quando o fluido de trabalho é um gás ideal monoatômico. Informações relevantes fornecidas e assumidas (padrão do ciclo de Otto):
  • A eficiência é dada por \varepsilon_{\text{Otto}}=\left(\dfrac{-W_{\text{liq}}}{Q_{BC}}\right), onde Q_{BC} é o calor absorvido no processo B\to C.
  • No ciclo de Otto ideal temos quatro processos em sequência: A\to B compressão adiabática reversível; B\to C aquecimento a volume constante (calor absorvido Q_{BC}); C\to D expansão adiabática reversível; D\to A rejeição de calor a volume constante.
  • Das geometrias dos processos: V_C=V_B (processo B\to C é isocórico) e V_D=V_A (processo D\to A é isocórico).
  • O fluido é um gás ideal monoatômico (isso garante capacidades caloríficas bem definidas; lembre que \gamma=c_p/c_v; para monoatômico \gamma=5/3, mas a derivação abaixo usa \gamma geral).
  • O objetivo é mostrar \varepsilon_{\text{Otto}}=1-\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1}e \varepsilon=1-\frac{T_{A}}{T_{B}}.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão da eficiência usando conservação de energia (primeira lei) no ciclo fechado. O trabalho líquido por ciclo W_{\text{liq}} é igual à diferença entre o calor absorvido Q_{\text{in}} e o calor rejeitado Q_{\text{out}}:
W_{\text{liq}} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}.
A definição usual de eficiência é a razão entre trabalho líquido e calor absorvido (com sinal apropriado). Assim
\varepsilon_{\text{Otto}}=\frac{-W_{\text{liq}}}{Q_{BC}}=\frac{Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}=1-\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}.
No ciclo Otto o calor absorvido Q_{\text{in}} é o Q_{BC} (aquecimento a volume constante de B a C) e o calor rejeitado é Q_{DA} (rejeição a volume constante de D a A). Assim podemos trabalhar com
\varepsilon = 1 - \frac{Q_{DA}}{Q_{BC}}.

Passo 3

Para processos a volume constante num gás ideal, o calor trocado é relacionado à variação de temperatura por
Q = n c_v \Delta T,
onde n é o número de mols e c_v é a capacidade molar a volume constante. Logo:
Q_{BC} = n c_v (T_C - T_B), \qquad Q_{DA} = n c_v (T_D - T_A).
Substituindo na expressão da eficiência obtém-se
\varepsilon = 1 - \frac{T_D - T_A}{T_C - T_B}.
Note que o fator n c_v cancela. Agora precisamos relacionar as temperaturas nas quatro pinturas do ciclo usando os processos adiabáticos.

Passo 4

Para uma transformação adiabática reversível de um gás ideal vale a relação
P V^{\gamma} = \text{constante},
onde \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}. Usando a equação de estado P V = n R T e substituindo em P V^{\gamma}= const, podemos obter a forma útil envolvendo T e V:
T V^{\gamma-1} = \text{constante} \quad\text{(para adiabática reversível de gás ideal).}áíá
Isso significa, aplicando entre os pontos A e B (compressão adiabática) e entre C e D (expansão adiabática):
T_A V_A^{\gamma-1} = T_B V_B^{\gamma-1}, \qquad T_C V_B^{\gamma-1} = T_D V_A^{\gamma-1},
onde usei que V_B=V_C e V_A=V_D (isocóricos nos ramos B\to C e D\to A).

Passo 5

Reescrevendo as relações adiabáticas para isolar T_A e T_D em função de T_B e T_C:
T_A = T_B \left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}, \qquad T_D = T_C \left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}.
Isto vem de simplesmente dividir ambos os lados por V_A^{\gamma-1} ou V_B^{\gamma-1} nas igualdades do passo anterior. Essas expressões dizem que tanto T_A quanto T_D são as correspondentes T_B e T_C multiplicadas por um mesmo fator geométrico \left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}.

Passo 6

Substituímos as expressões de T_A e T_D na razão que aparece na eficiência:
T_D - T_A = T_C\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1} - T_B\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1} (T_C - T_B).
Agora, na expressão
\varepsilon = 1 - \frac{T_D - T_A}{T_C - T_B},
substituímos o numerador obtido e vemos que o fator (T_C-T_B) cancela, resultando em
\frac{T_D - T_A}{T_C - T_B}=\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}.
Portanto
\boxed{\varepsilon_{\text{Otto}}=1-\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}.}
Essa é a primeira fórmula pedida.

Passo 7

Mostramos agora a forma equivalente em termos de temperaturas T_A e T_B. Da relação adiabática entre A e B temos
T_B = T_A \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}.
Isto implica
\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_A}{T_B}.
Substituindo na expressão de \varepsilon_{\text{Otto}} do passo anterior obtemos a forma
\boxed{\varepsilon = 1 - \frac{T_A}{T_B}.}
Comentário prático: para um gás ideal monoatômico c_v=\tfrac{3}{2}R e c_p=\tfrac{5}{2}R, então \gamma=\tfrac{5}{3}; a derivação acima é válida para qualquer \gamma, mas para monoatômico basta substituir esse valor se quiser número.

Resposta

\varepsilon_{\text{Otto}}=1-\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1}
\varepsilon=1-\frac{T_{A}}{T_{B}}

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