Se uma partícula está em um estado estacionário, isto significa que ela não está se movendo? Se uma partícula se encontra no vácuo com velocidade \vec{v} constante e energia E=m v^{2} / 2 também constante, ela está em um estado estacionário? Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado pergunta se “estado estacionário” equivale a “não se mover” e se uma partícula livre no vácuo, com velocidade \vec v constante e energia E = \tfrac12 m v^2 constante, é ou não um estado estacionário. Para responder, vamos usar o conceito de estado estacionário em mecânica quântica e compará-lo com a ideia clássica de movimento.

Passo 2

Em mecânica quântica, dizemos que um estado \psi(\vec r,t) é estacionário quando ele é um autoestado do Hamiltoniano H. Ou seja, existe uma função de onda espacial \varphi(\vec r) e um valor próprio de energia E tais que
\psi(\vec r,t) = \varphi(\vec r)\,e^{-iEt/\hbar}
Nessa situação, a densidade de probabilidade
|\psi(\vec r,t)|^2 = |\varphi(\vec r)|^2
não depende de t. Além disso, para qualquer operador O, seu valor médio
\langle O\rangle_t = \int \psi^*(\vec r,t)\,O\,\psi(\vec r,t)\,d^3r
é constante no tempo, pois o fator de fase global cancela.

Passo 3

Repare que “esta-cionário” aqui significa “sem dependência temporal nas probabilidades e nos valores médios”, não “posição fixa”. De fato, se o estado é autoestado de H, quaisquer valores médios de operadores (inclusive o de velocidade) permanecem constantes, mas não precisam ser zero. Logo, um estado estacionário pode ter corrente de probabilidade não-nula e, portanto, “movimentar-se” em certo sentido.

Passo 4

Considere agora o caso de partícula livre (no vácuo) em um autoestado de momento \vec p = m\vec v. A função de onda de momento bem definido é
\psi_{\vec p}(\vec r,t) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \exp\!\Bigl(\tfrac{i}{\hbar}(\vec p\cdot\vec r - E t)\Bigr), \quad E = \frac{p^2}{2m}.
Como \psi_{\vec p} satisfaz H\psi_{\vec p}=E\psi_{\vec p}, é um estado estacionário. De fato,
|\psi_{\vec p}(\vec r,t)|^2 = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3}}
é uniforme e não varia com o tempo, embora o operador momento tenha valor médio \langle \vec p\rangle = \vec p\neq 0. Portanto, esse estado “está se movendo” no sentido de ter corrente de probabilidade, mas ainda é estacionário no sentido quântico.

Passo 5

Em contraste, um pacote de ondas bem localizado com velocidade média \vec v é uma superposição de autoestados de energia (momentos distintos). Sua densidade de probabilidade |\psi(\vec r,t)|^2 desloca-se no espaço à medida que t varia, e assim \psi(\vec r,t) não é estacionário: o pacote “corrre” e muda seu perfil.

Resposta

Não, “estado estacionário” não significa “partícula parada”. Estado estacionário implica que \psi é autoestado do Hamiltoniano e, por isso, todas as densidades de probabilidade e médias de operadores são independentes do tempo. Um autoestado de momento (onda de plano) livre com \vec v constante é um estado estacionário, pois é autoestado de H e tem densidade de probabilidade fixa, mesmo que tenha corrente de probabilidade (isto é, “movimente-se” em certo sentido). Em contrapartida, um pacote de ondas localizado que desliza com velocidade fixa não é um estado estacionário, pois seu perfil |\psi|^2 muda com o tempo.

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