1. Uma partícula inicialmente no ponto (-2,0) se move ao longo do eixo x para (2,0), e então ao longo da semicircunferência y=\sqrt{4-x^{2}} até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força \mathbf{F}(x, y)=\left\langle x, x^{3}+3 x y^{2}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado descreve uma trajetória fechada C formada por dois trechos:
  1. O segmento do eixo x que vai de (-2,0) até (2,0).
  2. A semicircunferência superior dada por y=\sqrt{4-x^2} de (2,0) de volta a (-2,0).
    O campo de forças é
\mathbf{F}(x,y)=\langle P,Q\rangle \quad\text{com}\quad P(x,y)=x, \;Q(x,y)=x^3+3xy^2.
Queremos o trabalho
\oint_C P\,dx+Q\,dy.
Pelo Teorema de Green, para C orientada positivamente (sentido anti-horário),
\oint_C P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interna à curva C (o semicírculo de raio 2 acima do eixo x).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^3+3xy^2\bigr) =3x^2+3y^2,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x) =0.
Logo, o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3x^2+3y^2 =3\,(x^2+y^2).

Passo 3

Portanto o trabalho é
\oint_C P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}3\,(x^2+y^2)\,dA.
Como D é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x, é conveniente usar coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta, \quad 0\le r\le 2,\quad 0\le\theta\le\pi,
e x^2+y^2=r^2, dA=r\,dr\,d\theta. Assim
\iint_{D}3\,(x^2+y^2)\,dA =3\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}r^2\,(r\,dr)\,d\theta =3\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2}r^3\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculando as integrais:
\int_{0}^{2}r^3\,dr =\Bigl[\frac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{16}{4}=4,
\int_{0}^{\pi}d\theta =\pi.
Logo
3\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2}r^3\,dr\,d\theta =3\cdot\pi\cdot 4 =12\pi.

Resposta

O trabalho realizado pela partícula sob o campo \mathbf{F} ao percorrer C é 12\pi.

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