Q6. Uma partícula de 3 kg parte do repouso em x=O e se move sob a ação de uma única força F_{x}=6+4 x-3 x^{2}, com F_{x} em newtons e x em metros. (a) Calcular o trabalho da força quando a partícula se desloca de x=O até x=3 m . (b) Calcular a potência proporcionada à partícula no ponto x=3 \mathrm{~m} . \mathbf{R}:(\mathbf{a}) 9 \mathrm{~J}(\mathbf{b})-22 \mathrm{~W})

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados do enunciado:
    • Massa da partícula: \\ m=3\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade inicial: parte do repouso, ou seja \\ v_0=0.
    • Força ao longo do eixo x: \\ F_x(x)=6+4x-3x^{2}, com F_x em newtons e x em metros.
    • Movimento considerado do ponto \\ x=0 até \\ x=3\\ \mathrm{m}.
  • O que é pedido:
    • (a) Calcular o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de \\ x=0 até \\ x=3\\ \mathrm{m}.
    • (b) Calcular a potência fornecida à partícula no ponto \\ x=3\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula do trabalho realizado por uma força que varia com a posição (explicando como usar no papel de prova).
  • Se uma força em 1D é \\ F_x(x) e a partícula se desloca ao longo de x, o trabalho diferencial ao percorrer um pequeno deslocamento \\ dx é
    dW = F_x(x)\,dx.
    Isso vem da definição elemental de trabalho: força multiplicada pelo deslocamento (quando força e deslocamento têm mesma direção).
  • O trabalho total entre \\ x=a e \\ x=b é a integral definida
    W=\int_{a}^{b} F_x(x)\,dx.
    Aqui as variáveis: \\ x é a variável de integração (posição), e \\ F_x(x) dá a força em cada posição.
  • Aplicando ao problema: para (a) devemos calcular
    W=\int_{0}^{3} \bigl(6+4x-3x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Cálculo da integral (fazendo as contas passo a passo, como na prova).
  • Primeiro calcule primitivas separadamente:
    • \displaystyle \int 6\,dx = 6x.
    • \displaystyle \int 4x\,dx = 2x^{2}.
    • \displaystyle \int -3x^{2}\,dx = -x^{3}.
  • Portanto a primitiva da soma é
    \int \bigl(6+4x-3x^{2}\bigr)\,dx = 6x+2x^{2}-x^{3}.
  • Avaliando a integral definida de 0 a 3:
    W = \bigl[6x+2x^{2}-x^{3}\bigr]_{0}^{3}.
    Calcule o valor em x=3:
    6\cdot 3 + 2\cdot 3^{2} - 3^{3} = 18 + 2\cdot 9 - 27 = 18 + 18 - 27 = 9.
    Em x=0 a expressão é zero, então não precisa subtrair nada além de 0.
  • Conclusão provisória: o trabalho realizado pela força entre \\ x=0 e \\ x=3 é \\ W=9\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Como achar a velocidade em \\ x=3 para calcular a potência (introdução didática do Teorema Trabalho-Energia).
  • Na ausência de outras formas de energia e começando do repouso, o trabalho total realizado pela força sobre a partícula vai para a energia cinética. Esse é o Teorema Trabalho–Energia:
    W = \Delta K = \tfrac{1}{2} m v^{2} - \tfrac{1}{2} m v_{0}^{2}.
    Aqui \\ m é a massa, \\ v_{0} é a velocidade inicial e \\ v a velocidade no final do trecho.
  • Como \\ v_{0}=0, temos
    W = \tfrac{1}{2} m v^{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\dfrac{2W}{m}}.
  • Substituindo os valores conhecidos ( \\ W=9\\ \mathrm{J} e \\ m=3\\ \mathrm{kg}):
    v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 9}{3}}=\sqrt{6}\\ \mathrm{m/s}\approx 2{,}449\\ \mathrm{m/s}.
    Observação: a raiz quadrada é positiva porque velocidade nesta situação (deslocamento positivo) é positiva.

Passo 5

Cálculo da potência no ponto \\ x=3 usando P=F\cdot v e interpretação do sinal.
  • Definição de potência instantânea: a potência fornecida pela força é o produto da força pela velocidade (produto escalar). Em 1D: P(x)=F_x(x)\,v(x).Aqui \\ v(x) é a velocidade instantânea quando a partícula está na posição x.
  • Primeiro calcule a força em x=3: F_x(3)=6+4\cdot 3 -3\cdot 3^{2}=6+12-27=-9\\ \mathrm{N}.
  • Já temos \\ v(3)=\sqrt{6}\\ \mathrm{m/s}. Logo a potência em x=3 é P(3)=F_x(3)\,v(3) = -9\cdot \sqrt{6}\\ \mathrm{W}\approx -22{,}04\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação do sinal negativo: P(3)<0 significa que, naquele instante e posição, a força está retirando energia cinética da partícula (a força aponta no sentido oposto ao movimento). Isso não contradiz o fato de que o trabalho total de 0 a 3 foi positivo — a força pode ser positiva em boa parte do intervalo e negativa perto de 3, resultando num trabalho total positivo mas potência instantânea negativa em x=3.

Resposta

(a) \;9\\ \mathrm{J}
(b) -22\\ \mathrm{W}

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