Q6. Uma partícula de 3 kg parte do repouso em
e se move sob a ação de uma única força
, com
em newtons e
em metros. (a) Calcular o trabalho da força quando a partícula se desloca de
até
m . (b) Calcular a potência proporcionada à partícula no ponto
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
-
Dados do enunciado:
- Massa da partícula:
. - Velocidade inicial: parte do repouso, ou seja
. - Força ao longo do eixo
: , com em newtons e em metros. - Movimento considerado do ponto
até .
- Massa da partícula:
-
O que é pedido:
- (a) Calcular o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de
até . - (b) Calcular a potência fornecida à partícula no ponto
.
- (a) Calcular o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de
Passo 2
Conceito e fórmula do trabalho realizado por uma força que varia com a posição (explicando como usar no papel de prova).
-
Se uma força em 1D é
e a partícula se desloca ao longo de , o trabalho diferencial ao percorrer um pequeno deslocamento é Isso vem da definição elemental de trabalho: força multiplicada pelo deslocamento (quando força e deslocamento têm mesma direção). -
O trabalho total entre
e é a integral definida Aqui as variáveis:é a variável de integração (posição), e dá a força em cada posição. -
Aplicando ao problema: para (a) devemos calcular
Passo 3
Cálculo da integral (fazendo as contas passo a passo, como na prova).
-
Primeiro calcule primitivas separadamente:
-
. -
. -
.
-
-
Portanto a primitiva da soma é
-
Avaliando a integral definida de
a : Calcule o valor em: Ema expressão é zero, então não precisa subtrair nada além de . -
Conclusão provisória: o trabalho realizado pela força entre
e é
Passo 4
Como achar a velocidade em
para calcular a potência (introdução didática do Teorema Trabalho-Energia).
-
Na ausência de outras formas de energia e começando do repouso, o trabalho total realizado pela força sobre a partícula vai para a energia cinética. Esse é o Teorema Trabalho–Energia:Aqui
é a massa, é a velocidade inicial e a velocidade no final do trecho. -
Como
, temos -
Substituindo os valores conhecidos (
e ): Observação: a raiz quadrada é positiva porque velocidade nesta situação (deslocamento positivo) é positiva.
Passo 5
Cálculo da potência no ponto
usando
e interpretação do sinal.
- Definição de potência instantânea: a potência fornecida pela força é o produto da força pela velocidade (produto escalar). Em 1D:
Aqui é a velocidade instantânea quando a partícula está na posição . - Primeiro calcule a força em
: - Já temos
. Logo a potência em é - Interpretação do sinal negativo:
significa que, naquele instante e posição, a força está retirando energia cinética da partícula (a força aponta no sentido oposto ao movimento). Isso não contradiz o fato de que o trabalho total de a foi positivo — a força pode ser positiva em boa parte do intervalo e negativa perto de , resultando num trabalho total positivo mas potência instantânea negativa em .
Resposta
(a)
(b)
(b)