Um pequeno peixe está no centro de um aquário esférico com diâmetro de 28 cm e cheio de agua. Despreze a camada fina de vidro em volta do aquário. Utilize n_{\text {agua }}=1.33.
O foco de raios de luz vindo de fora se forma no interior ou no exterior do aquário? Explique!

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única pergunta:
  • Aquário esférico com diâmetro 28\\ \text{cm}.
  • Logo, o raio da esfera é R=14\\ \text{cm}.
  • O aquário está cheio de água e a camada de vidro é desprezada.
  • Índice de refração da água dado: n_{\text{água}}=1,33á. O índice do ar toma-se como n_{\text{ar}}=1,00.
  • Um peixe pequeno está no centro da esfera (isso é dado, mas a pergunta é sobre onde se forma o foco de raios que vêm de fora).
Pergunta: O foco dos raios de luz que vêm de fora se forma no interior ou no exterior do aquário? Explique.

Passo 2

Plano de ataque (resumido): vamos modelar a esfera de água como duas superfícies esféricas sucessivas — a face de entrada (lado de onde vem a luz) e a face de saída (lado oposto). Primeiro calculamos onde a primeira superfície faria convergir raios paralelos que incidem de longe; depois usamos essa imagem intermediária como “objeto” para a segunda superfície e calculamos onde os raios finalmente se encontram no ar. Para fazer isso usamos a fórmula de refração numa superfície esférica.
Apresento a fórmula e explico cada símbolo. Para uma superfície esférica que separa um meio de índice n_1 (lado do objeto) de um meio n_2 (lado da imagem), com raio de curvatura R (positivo se o centro da curvatura está do lado direito da vértice da superfície), a relação para distâncias objeto e imagem é:
\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}.
Explicação das variáveis (modo simples):
  • s é a distância do objeto ao vértice da superfície (positiva se o objeto estiver no lado de onde a luz incide).
  • s' é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem estiver no lado para onde a luz sai).
  • R é o raio de curvatura da superfície, positivo quando o centro de curvatura está à direita do vértice (seguindo a direção de propagação da luz).
    Vou usar essa convenção de sinais ao aplicar a fórmula.

Passo 3

Primeira refração (entrada da luz no aquário).
  • Luz vindo de muito longe → objeto na primeira superfície em s=\infty.
  • Meios: do ar para a água, então n_1=n_{\text{ar}}=1,00 e n_2=n_{\text{água}}=1,33á.
  • Raio da primeira superfície (vértice da face de entrada): o centro da esfera está para a direita do vértice de entrada, então R_1=+14\\ \text{cm}.
Aplicando a fórmula com 1/s=0:
\frac{n_2}{s_1'}=\frac{n_2-n_1}{R_1}
s_1'=\frac{n_2\,R_1}{\,n_2-n_1\,}=\frac{1{,}33\cdot 14}{1{,}33-1{,}00}=\frac{18{,}62}{0{,}33}\approx 56{,}42\\ \text{cm}.
Interpretação: essa é a posição (medida a partir do vértice de entrada) onde os raios, se só houvesse essa superfície, se encontrariam. Como s_1'=56{,}42\\ \text{cm} e a segunda face da esfera está a 28\\ \text{cm} do vértice de entrada, esse ponto está além da segunda face (isto é, do outro lado da esfera). Na prática, os raios estão convergindo, mas atingem a segunda superfície antes de se encontrarem.

Passo 4

Preparar o cálculo da segunda refração (saída).
  • Vértice da segunda face (saída) está em x=28\\ \text{cm} medida a partir do vértice de entrada.
  • A imagem intermediária encontrada pela primeira superfície está em x=56{,}42\\ \text{cm}. Portanto, relativa ao vértice da segunda superfície a distância até essa imagem é
\Delta=56{,}42-28=28{,}42\\ \text{cm}.
Como essa imagem está do lado oposto ao qual a luz incide sobre a segunda superfície (está à direita do vértice de saída, enquanto a luz incide nessa superfície vindo da esquerda), para a segunda superfície esse “objeto” é virtual e seu s toma sinal negativo:
s_2=-28{,}42\\ \text{cm}.
Além disso, para a segunda superfície o centro de curvatura está à esquerda do vértice (pois o centro da esfera fica entre as duas faces), então
R_2=-14\\ \text{cm}.

Passo 5

Segunda refração (da água para o ar na saída).
Agora a fórmula é aplicada com n_1=n_{\text{água}}=1{,}33á (meio de onde a luz incide na segunda superfície) e n_2=n_{\text{ar}}=1{,}00:
\frac{n_1}{s_2}+\frac{n_2}{s_2'}=\frac{n_2-n_1}{R_2}.
Substituindo os números:
\frac{1{,}33}{-28{,}42}+\frac{1{,}00}{s_2'}=\frac{1{,}00-1{,}33}{-14}.
Calcule passo a passo:
\frac{1{,}33}{-28{,}42}\approx -0{,}04680,
\frac{1{,}00-1{,}33}{-14}=\frac{-0{,}33}{-14}=+0{,}0235714\ldots
Logo
\frac{1{,}00}{s_2'}=0{,}0235714-(-0{,}04680)=0{,}0703714\ldots
s_2'=\frac{1{,}00}{0{,}0703714}\approx 14{,}21\\ \text{cm}.

Passo 6

Interpretação do resultado da segunda refração: s_2'>0 significa que a imagem final (o foco dos raios que vinham paralelos de fora) está do lado transmitido da segunda superfície, isto é, no ar do lado oposto ao ponto de entrada da luz. A distância s_2'=14{,}21\\ \text{cm} é medida a partir do vértice da face de saída, portanto o foco fica a aproximadamente 14{,}21\\ \text{cm} fora da esfera, do lado oposto ao da incidência.

Passo 7

Resumo físico e intuição (modo amigo): a luz paralela entra na água e começa a convergir por causa da primeira superfície. Mas como a esfera é um corpo fechado, as mesmas superfícies que fazem a convergência também fazem a refração de saída; ao atravessar a face de saída a luz é “reajustada” e o ponto onde os raios efetivamente se encontram acaba ficando fora da esfera, na parte externa do lado oposto. Portanto o foco não cai no centro nem dentro da água; ele aparece no ar do lado de saída, a uma distância do exterior da esfera que calculamos.

Resposta

O foco forma-se no exterior do aquário, a aproximadamente 14{,}21\\ \text{cm} do lado de fora da face oposta à incidência.

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