Uma partícula de 5 kg tem seu movimento dado pelas coordenadas polares \mathrm{r}=(2 \mathrm{t}+1) e \theta=\left(0,5 t^{2}-1\right), sendo r em m , t em se \theta em rad. Calcular as componentes radial e transversal da força no tempo \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=5 kg com coordenadas polares
r(t)=2t+1,\qquad \theta(t)=0,5\,t^2-1,
e pede as componentes radial e transversal da força em t=2 s. Vamos usar as fórmulas de aceleração em coordenadas polares:
a_r = r'' - r\,(\theta')^2,
a_\theta = r\,\theta'' + 2\,r'\,\theta'.
Depois calculamos F_r=m\,a_r e F_\theta=m\,a_\theta.

Passo 2

Calculamos as derivadas de r e \theta:
r(t)=2t+1\;\Rightarrow\;r'(t)=2,\quad r''(t)=0,
\theta(t)=0,5\,t^2-1\;\Rightarrow\;\theta'(t)=t,\quad \theta''(t)=1.

Passo 3

Avaliaremos em t=2 s:
r(2)=2\cdot2+1=5,\quad r'(2)=2,\quad r''(2)=0,
\theta'(2)=2,\quad \theta''(2)=1.
Agora a componente radial da aceleração:
a_r = r'' - r\,(\theta')^2 = 0 - 5\cdot(2)^2 = -20\\ {\rm m/s^2}.
E a componente transversal da aceleração:
a_\theta = r\,\theta'' + 2\,r'\,\theta' = 5\cdot1 + 2\cdot2\cdot2 = 5 + 8 = 13\\ {\rm m/s^2}.

Passo 4

Multiplicando pela massa para obter as forças:
F_r = m\,a_r = 5\cdot(-20) = -100\\ {\rm N},
F_\theta = m\,a_\theta = 5\cdot13 = 65\\ {\rm N}.

Resposta

F_r = -100 N (radial) F_\theta = 65 N (transversal)

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