Uma partícula livre de massa m e número de onda k_{1} está viajando para a direita. No ponto x=0 a energia potencial muda bruscamente de 0 para V_{0} e permanece com este valor para todos os valores positivos de x.
a) Se a energia inicial da partícula é E=\hbar^{2} k_{1}^{2} / 2 m=2 V_{0}, qual é o número de onda k_{2} na região x>0 ? Expresse sua resposta em função de k_{1}.
b) Calcule o coeficiente de reflexão R por este tipo de potencial.
c) Qual é o valor do coeficiente de transmissão T ?
d) Para cada 1 milhão de partículas com número de onda k_{1} que incide sobre o degrau de potencial, quantas partículas, em média, continuam viajando no sentido positivo do eixo x, ou seja, conseguem “perfurar” a barreira de potencial? Como este valor se compara com a previsão clássica?
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa m\) que incide pela direita com número de onda \(\,k_{1}\) sobre um potencial degrau em \(x=0\), onde
\[V(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\\ V_{0}, & x\ge0. \end{cases}
A energia da partícula é
E=\frac{\hbar^{2}k_{1}^{2}}{2m}=2V_{0}.
Queremos (a) o número de onda \,k_{2}\] para \(x>0, (b) o coeficiente de reflexão R, (c) o coeficiente de transmissão T e (d) quantas partículas, de cada milhão, transmitem no regime quântico e comparação com o resultado clássico.
Passo 2
Na região x>0 a partícula tem energia cinética E-V_{0}. O número de onda ali satisfaz
k_{2}=\frac{\sqrt{2m\bigl(E-V_{0}\bigr)}}{\hbar}
e como E=2V_{0} temos E-V_{0}=V_{0}, logo
k_{2}=\frac{\sqrt{2mV_{0}}}{\hbar}.
Mas também k_{1}=\sqrt{2mE}/\hbar=\sqrt{4mV_{0}}/\hbar=2\sqrt{mV_{0}}/\hbar. Portanto
Classicamente, como E>V_{0}, todas as partículas passariam o degrau, isto é, T_{\mathrm{clássico}}=1á e portanto 10^{6} partículas. No caso quântico há reflexão parcial, reduzindo o fluxo transmitido.
Resposta
a) \displaystyle k_{2}=\frac{k_{1}}{\sqrt{2}}.
b) \displaystyle R=\biggl(\frac{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\biggr)^{2}=3-2\sqrt{2}\approx0{,}1716.
c) \displaystyle T=1-R=2\sqrt{2}-2\approx0{,}8284.
d) Cerca de 8,28\times10^{5} partículas transmitem por milhão; classicamente seriam 10^{6}.