Uma partícula livre de massa m e número de onda k_{1} está viajando para a direita. No ponto x=0 a energia potencial muda bruscamente de 0 para V_{0} e permanece com este valor para todos os valores positivos de x.
a) Se a energia inicial da partícula é E=\hbar^{2} k_{1}^{2} / 2 m=2 V_{0}, qual é o número de onda k_{2} na região x>0 ? Expresse sua resposta em função de k_{1}.
b) Calcule o coeficiente de reflexão R por este tipo de potencial.
c) Qual é o valor do coeficiente de transmissão T ?
d) Para cada 1 milhão de partículas com número de onda k_{1} que incide sobre o degrau de potencial, quantas partículas, em média, continuam viajando no sentido positivo do eixo x, ou seja, conseguem “perfurar” a barreira de potencial? Como este valor se compara com a previsão clássica?

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m\) que incide pela direita com número de onda \(\,k_{1}\) sobre um potencial degrau em \(x=0\), onde \[V(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\\ V_{0}, & x\ge0. \end{cases}
A energia da partícula é
E=\frac{\hbar^{2}k_{1}^{2}}{2m}=2V_{0}.
Queremos (a) o número de onda \,k_{2}\] para \(x>0, (b) o coeficiente de reflexão R, (c) o coeficiente de transmissão T e (d) quantas partículas, de cada milhão, transmitem no regime quântico e comparação com o resultado clássico.

Passo 2

Na região x>0 a partícula tem energia cinética E-V_{0}. O número de onda ali satisfaz
k_{2}=\frac{\sqrt{2m\bigl(E-V_{0}\bigr)}}{\hbar}
e como E=2V_{0} temos E-V_{0}=V_{0}, logo
k_{2}=\frac{\sqrt{2mV_{0}}}{\hbar}.
Mas também k_{1}=\sqrt{2mE}/\hbar=\sqrt{4mV_{0}}/\hbar=2\sqrt{mV_{0}}/\hbar. Portanto
k_{2}=\frac{\sqrt{2mV_{0}}}{\hbar} =\frac{1}{\sqrt{2}}\;\frac{2\sqrt{mV_{0}}}{\hbar} =\frac{k_{1}}{\sqrt{2}}.

Passo 3

O coeficiente de reflexão para um degrau de potencial em que ambas as regiões suportam onda propagante é dado por
R =\biggl|\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\biggr|^{2}.

Passo 4

Substituindo k_{2}=k_{1}/\sqrt{2} em R, obtemos
R =\left(\frac{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)^{2} =3-2\sqrt{2} \approx0{,}1716.

Passo 5

O coeficiente de transmissão satisfaz T=1-R (não há perda de corrente de probabilidade), logo
T=1-(3-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2\approx0{,}8284.
Alternativamente pode-se lembrar a fórmula
T=\frac{4\,k_{1}\,k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}},
que dá o mesmo resultado.

Passo 6

De cada 10^{6} partículas incidentes, transmitem em média
T\times10^{6}\approx0{,}8284\times10^{6}\approx8,28\times10^{5}.
Classicamente, como E>V_{0}, todas as partículas passariam o degrau, isto é, T_{\mathrm{clássico}}=1á e portanto 10^{6} partículas. No caso quântico há reflexão parcial, reduzindo o fluxo transmitido.

Resposta

a) \displaystyle k_{2}=\frac{k_{1}}{\sqrt{2}}.
b) \displaystyle R=\biggl(\frac{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\biggr)^{2}=3-2\sqrt{2}\approx0{,}1716.
c) \displaystyle T=1-R=2\sqrt{2}-2\approx0{,}8284.
d) Cerca de 8,28\times10^{5} partículas transmitem por milhão; classicamente seriam 10^{6}.

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