Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
em que
e
são constantes reais positivas.
(a) Normalize
.
(a) Normalize
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda inicial para uma partícula livre, que é dada por:
Aqui,
e
são constantes reais positivas. Nosso objetivo é normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de
para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. Em mecânica quântica, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Isso garante que a partícula está em algum lugar no espaço. Portanto, precisamos calcular essa integral e resolver para
.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, temos:
Agora, a integral que precisamos resolver é:
Passo 4
Observando a função
, percebemos que ela é simétrica em relação a
. Isso significa que podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando apenas de 0 a
:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral de volta na equação anterior:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A constante de normalização é
. Portanto, a função de onda normalizada é: