Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
Psi(x, 0)=A e^-a|x|
em que A e a são constantes reais positivas.
(a) Normalize Psi(x, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda inicial para uma partícula livre, que é dada por:
Psi(x, 0) = A e^-a|x|
Aqui, A e a são constantes reais positivas. Nosso objetivo é normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de A para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. Em mecânica quântica, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Isso garante que a partícula está em algum lugar no espaço. Portanto, precisamos calcular essa integral e resolver para A.

Passo 3

Vamos calcular |Psi(x, 0)|^2. Como Psi(x, 0) = A e^-a|x|, temos:
|Psi(x, 0)|^2 = (A e^-a|x|)^2 = A^2 e^-2a|x|
Agora, a integral que precisamos resolver é:
integral-infty^infty A^2 e^-2a|x| dx = 1

Passo 4

Observando a função e^-2a|x|, percebemos que ela é simétrica em relação a x = 0. Isso significa que podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando apenas de 0 a infty:
2 A^2 integral0^infty e^-2a x dx = 1

Passo 5

Vamos resolver a integral integral0^infty e^-2a x dx. A antiderivada de e^-2a x é -12a e^-2a x, então:
integral0^infty e^-2a x dx = [ -12a e^-2a x ]0^infty = 0 - ( -12a ) = 12a

Passo 6

Substituindo o resultado da integral de volta na equação anterior:
2 A^2 times 12a = 1
Simplificando:
A^2a = 1

Passo 7

Resolvendo para A:
A^2 = a A = raiza

Resposta

A constante de normalização é A = raiza. Portanto, a função de onda normalizada é:
Psi(x, 0) = raiza , e^-a|x|

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