3-Uma partícula de massa m=10 \mathrm{~kg}, que se desloca ao longo do eixo x horizontal, tem energia potencial U, em função da posição, dada por U(x)=x^{3}-36 x, onde x é dado em metros e U em Joules. Considere que o atrito seja desprezível.
(a) Encontre os pontos de equilbrio desse potencial. Eles são estáveis ou instáveis?
(b) Calcule a força, em função de x, que atua na partícula.
(c) Se em x=0 a velocidade da partícula é 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a sua energia mecânica.
(d) Calcule a velocidade da partícula na posiçāo x=2,0 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado nos dá m=10\\ \mathrm{kg} e o potencial como função da posição
U(x)=x^{3}-36x,
onde x está em metros e U em joules. Não há atrito. As perguntas são:
(a) achar os pontos de equilíbrio e classificar cada um (estável/instável);
(b) calcular a força F(x) que atua na partícula em função de x;
(c) dado x=0 e velocidade v(0)=2,0\\ \mathrm{m/s}, determinar a energia mecânica E;
(d) calcular a velocidade v quando x=2,0\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Condição matemática para ponto de equilíbrio: um ponto x_{eq} é de equilíbrio se a força resultante é zero. Como o potencial U(x) está dado, usamos a relação entre força e potencial:
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Logo equilíbrio quando \frac{dU}{dx}=0. Primeiro calculemos a derivada de U. A derivada de x^{3} é 3x^{2} e a derivada de -36x é -36. Portanto
\frac{dU}{dx}=3x^{2}-36.
Agora resolvemos \frac{dU}{dx}=0:
3x^{2}-36=0.
Dividindo por 3:
x^{2}-12=0.
Assim
x^{2}=12 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}.
Portanto os pontos de equilíbrio são x=\; -2\sqrt{3} e x=\; +2\sqrt{3} (em metros). Numericamente \pm 2\sqrt{3}\approx \pm 3,464\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Classificação de estabilidade via segunda derivada: para potenciais, se a segunda derivada em um ponto é positiva, esse ponto é mínimo local (estável); se for negativa, é máximo local (instável). Calculemos a segunda derivada de U:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}(3x^{2}-36)=6x.
Avaliaremos em cada ponto de equilíbrio:
  • Em x=-2\sqrt{3}:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\Big|_{x=-2\sqrt{3}}=6(-2\sqrt{3})=-12\sqrt{3}<0.
Como é negativa, x=-2\sqrt{3} é ponto de máximo do potencial, logo equilíbrio instável.
  • Em x=+2\sqrt{3}:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\Big|_{x=2\sqrt{3}}=6(2\sqrt{3})=12\sqrt{3}>0.
Como é positiva, x=2\sqrt{3} é ponto de mínimo do potencial, logo equilíbrio estável.
Física intuitiva: em um mínimo de U pequenas perturbações aumentam U (reduzem K) e a força tende a restaurar, por isso é estável; no máximo pequeno deslocamento diminui U e a partícula é “empurrada” para longe — instável.

Passo 4

Calcular explicitamente a força F(x). Já temos \frac{dU}{dx}=3x^{2}-36, então
F(x)=-\frac{dU}{dx}=-(3x^{2}-36)=36-3x^{2}.
Portanto a força que atua sobre a partícula, em newtons, é F(x)=36-3x^{2}. Observe que F tem sinal positivo para pequenas x (empurra para a direita) e negativo para x grandes em módulo (empurra para a esquerda), conforme esperado para um potencial com mínimo e máximo.

Passo 5

Energia mecânica total E é a soma da energia cinética K e da energia potencial U:
E=K+U=\frac{1}{2}mv^{2}+U(x).
No ponto x=0 temos U(0)=0^{3}-36\cdot 0=0. A velocidade dada é v(0)=2,0\\ \mathrm{m/s}. A energia cinética é
K(0)=\frac{1}{2}m v(0)^{2}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot (2,0)^{2}.
Calcule:
(2,0)^{2}=4,0,
K(0)=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4,0=5\cdot 4,0=20\\ \mathrm{J}.
Como U(0)=0, a energia mecânica total é
E=20\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Usar conservação da energia (sem atrito): E é constante. Para x=2,0\\ \mathrm{m} vale
E=\frac{1}{2}mv(2)^{2}+U(2).
Queremos v(2). Primeiro calcule U(2):
U(2)=2^{3}-36\cdot 2=8-72=-64\\ \mathrm{J}.
Colocando E=20\\ \mathrm{J}:
20=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot v(2)^{2}+(-64).
Isolando a parte cinética:
\frac{1}{2}\cdot 10\cdot v(2)^{2}=20+64=84\\ \mathrm{J}.
Então
5\\ v(2)^{2}=84 \quad\Rightarrow\quad v(2)^{2}=\frac{84}{5}=16,8.
Tomando raiz positiva (velocidade escalar):
v(2)=\sqrt{16,8}\approx 4,099\\ \mathrm{m/s}\approx 4,10\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) x=\pm 2\sqrt{3}. x=-2\sqrt{3} é equilíbrio instável; x=2\sqrt{3} é equilíbrio estável.
(b) F(x)=36-3x^{2}\\ \mathrm{N}.
(c) E=20\\ \mathrm{J}.
(d) v(2)=\sqrt{16,8}\approx 4,10\\ \mathrm{m/s}.

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