3-Uma partícula de massa m=10 \mathrm{~kg}, que se desloca ao longo do eixo x horizontal, tem energia potencial U, em função da posição, dada por U(x)=x^{3}-36 x, onde x é dado em metros e U em Joules. Considere que o atrito seja desprezível.
(a) Encontre os pontos de equilbrio desse potencial. Eles são estáveis ou instáveis?
(b) Calcule a força, em função de x, que atua na partícula.
(c) Se em x=0 a velocidade da partícula é 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a sua energia mecânica.
(d) Calcule a velocidade da partícula na posiçāo x=2,0 \mathrm{~m}.
Passo 1
O enunciado nos dá m=10\\ \mathrm{kg} e o potencial como função da posição
U(x)=x^{3}-36x,
onde x está em metros e U em joules. Não há atrito. As perguntas são:
(a) achar os pontos de equilíbrio e classificar cada um (estável/instável);
(b) calcular a força F(x) que atua na partícula em função de x;
(c) dado x=0 e velocidade v(0)=2,0\\ \mathrm{m/s}, determinar a energia mecânica E;
(d) calcular a velocidade v quando x=2,0\\ \mathrm{m}.
Passo 2
Condição matemática para ponto de equilíbrio: um ponto x_{eq} é de equilíbrio se a força resultante é zero. Como o potencial U(x) está dado, usamos a relação entre força e potencial:
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Logo equilíbrio quando \frac{dU}{dx}=0. Primeiro calculemos a derivada de U. A derivada de x^{3} é 3x^{2} e a derivada de -36x é -36. Portanto
Portanto os pontos de equilíbrio são x=\; -2\sqrt{3} e x=\; +2\sqrt{3} (em metros). Numericamente \pm 2\sqrt{3}\approx \pm 3,464\\ \mathrm{m}.
Passo 3
Classificação de estabilidade via segunda derivada: para potenciais, se a segunda derivada em um ponto é positiva, esse ponto é mínimo local (estável); se for negativa, é máximo local (instável). Calculemos a segunda derivada de U:
Como é positiva, x=2\sqrt{3} é ponto de mínimo do potencial, logo equilíbrio estável.
Física intuitiva: em um mínimo de U pequenas perturbações aumentam U (reduzem K) e a força tende a restaurar, por isso é estável; no máximo pequeno deslocamento diminui U e a partícula é “empurrada” para longe — instável.
Passo 4
Calcular explicitamente a força F(x). Já temos \frac{dU}{dx}=3x^{2}-36, então
F(x)=-\frac{dU}{dx}=-(3x^{2}-36)=36-3x^{2}.
Portanto a força que atua sobre a partícula, em newtons, é F(x)=36-3x^{2}. Observe que F tem sinal positivo para pequenas x (empurra para a direita) e negativo para x grandes em módulo (empurra para a esquerda), conforme esperado para um potencial com mínimo e máximo.
Passo 5
Energia mecânica total E é a soma da energia cinética K e da energia potencial U:
E=K+U=\frac{1}{2}mv^{2}+U(x).
No ponto x=0 temos U(0)=0^{3}-36\cdot 0=0. A velocidade dada é v(0)=2,0\\ \mathrm{m/s}. A energia cinética é