Uma partícula de massa m=0,20 \mathrm{~kg} é obrigada a mover-se em um círculo de raio R=0,80 \mathrm{~m} sobre uma mesa. O coeficiente de atrito cinético entre a partícula e a mesa é \mu=0,02. Em t=0, o módulo da velocidade da partícula é de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Após uma volta, qual é o trabalho feito pela força de atrito (W) e a energia cinética do disco (K) ? Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \pi=3,1.

Passo 1

Vou resumir claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei esses valores do enunciado):
  • Massa: m=0{,}20\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da trajetória circular: R=0{,}80\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu=0{,}02.
  • Velocidade inicial (em t=0): v_0=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Use \pi=3{,}1.
O enunciado pede:
  • O trabalho da força de atrito após uma volta: W.
  • A energia cinética da partícula após essa volta: K.

Passo 2

Entender a força de atrito e a normal. A partícula move-se sobre uma mesa horizontal, portanto o peso é equilibrado pela normal e a normal vale
N = m g.
A força de atrito cinético (módulo) é dada por
f_{\text{k}} = \mu N = \mu m g.
Isto significa: a cada instante a força de atrito tem intensidade \mu m g e sempre é tangente à trajetória, oposta ao movimento.

Passo 3

Calcular numericamente a força de atrito. Substituindo os valores:
f_{\text{k}} = \mu m g = 0{,}02 \cdot 0{,}20 \cdot 10 = 0{,}04\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular o comprimento do percurso em uma volta (circunferência). A distância percorrida numa volta é
s = 2\pi R.
Substituindo \pi=3{,}1 e R=0{,}80\\ \mathrm{m}:
s = 2 \cdot 3{,}1 \cdot 0{,}80 = 4{,}96\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o trabalho realizado pela força de atrito ao longo dessa volta. O trabalho de uma força de módulo constante que se opõe ao deslocamento é negativo e vale
W = - f_{\text{k}} \, s.
Substituindo os valores calculados:
W = -0{,}04 \cdot 4{,}96 = -0{,}1984\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos
W \approx -0{,}20\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular a energia cinética inicial e a final usando o teorema do trabalho-energia. A energia cinética inicial é
K_0 = \tfrac{1}{2} m v_0^2.
Substituindo os valores:
K_0 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}20 \cdot 10^2 = 10\\ \mathrm{J}.
O teorema trabalho-energia diz que o trabalho total realizado sobre a partícula é igual à variação da energia cinética:
W_{\text{total}} = \Delta K = K_{\text{final}} - K_0.
Aqui assumimos que a única força que realiza trabalho ao longo do deslocamento tangencial é a força de atrito (o peso e a normal não realizam trabalho horizontal). Logo
K_{\text{final}} = K_0 + W.
Substituindo K_0=10\\ \mathrm{J} e W=-0{,}1984\\ \mathrm{J}:
K_{\text{final}} = 10 - 0{,}1984 = 9{,}8016\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas decimais:
K_{\text{final}} \approx 9{,}80\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação curta e motivadora: o atrito é muito pequeno ( \mu pequeno), por isso o trabalho dissipado em uma volta é muito pequeno comparado à energia cinética inicial; a velocidade praticamente não muda, mas a energia diminui ligeiramente conforme calculado.

Resposta

W \approx -0{,}20\\ \mathrm{J}
K \approx 9{,}80\\ \mathrm{J}

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