Quando uma mola é estendida além do seu limite, a lei de Hooke é modificada e neste caso a força restauradora satisfaz F(x)=-k x+\beta x^{3}, onde k=10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, enquanto a constante \beta=100 \mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}. O trabalho realizado por esta força quando a mola é alongada por 0,2 \mathrm{~m} é:

Passo 1

O enunciado dá a força restauradora dependente da posição
F(x) = -k x + \beta x^{3},
com k=10\\ \mathrm{N}/\mathrm{m} e \beta=100\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}. Pede o trabalho realizado por essa força quando a mola é alongada por 0,2\\ \mathrm{m}.
Informações relevantes:
  • Força em função da posição: F(x) = -k x + \beta x^{3}.
  • Constantes: k=10\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}, \beta=100\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}.
  • Deslocamento da mola: de x=0 até x=0,2\\ \mathrm{m}.
    A pergunta é: qual é o trabalho W realizado por essa força ao levar x de 0 a 0,2\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Primeiro, a fórmula básica que usamos: o trabalho realizado por uma força variável unidimensional F(x) ao mover-se de x_i até x_f é
W=\int_{x_i}^{x_f} F(x)\,dx.
Explicando devagar: W é a soma (integração) de pequenas contribuições F(x)\,dx ao longo do caminho; aqui x é a coordenada (em metros) e F(x) tem unidades de newtons, então F(x)\,dx tem unidades de joules. No nosso caso os limites serão x_i=0 e x_f=0,2.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a força dada, montamos a integral:
W=\int_{0}^{0,2} \bigl(-k x + \beta x^{3}\bigr)\,dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • k e \beta são constantes dadas.
  • x é a variável de integração (posição).
  • Os limites 0 e 0,2 são a posição inicial e final da mola.

Passo 4

Agora integramos termo a termo. As integrais básicas que usamos são:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Portanto, o antiderivado de -k x + \beta x^{3} é
\int \bigl(-k x + \beta x^{3}\bigr)\,dx = -\frac{k x^{2}}{2} + \frac{\beta x^{4}}{4} + C,
onde C é constante de integração (irrelevante para integral definida).

Passo 5

Avaliaremos entre 0 e 0,2. Substituindo k=10 e \beta=100,
W = \left[-\frac{k x^{2}}{2} + \frac{\beta x^{4}}{4}\right]_{0}^{0,2} = \left(-\frac{10\cdot(0,2)^{2}}{2} + \frac{100\cdot(0,2)^{4}}{4}\right) - 0.
Calcule cada termo passo a passo:
(0,2)^{2}=0,04, \qquad (0,2)^{4}=(0,04)^{2}=0,0016.
Então
-\frac{10\cdot0,04}{2} = -\frac{0,4}{2} = -0,2,
e
\frac{100\cdot0,0016}{4} = \frac{0,16}{4} = 0,04.
Somando,
W = -0,2 + 0,04 = -0,16\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação física (curta e motivadora): o resultado negativo significa que a força restauradora realiza trabalho negativo durante a extensão (ela aponta na direção oposta ao deslocamento), ou seja, ao alongar a mola o agente externo realiza trabalho positivo de 0,16\\ \mathrm{J} que fica armazenado como energia potencial elástica. Vai dar tudo certo na prova — esse tipo de raciocínio é bem pedido em questões!

Resposta

-0,16\\ \mathrm{J}

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