Quando uma mola é estendida além do seu limite, a lei de Hooke é modificada e neste caso a força restauradora satisfaz
, onde
, enquanto a constante
. O trabalho realizado por esta força quando a mola é alongada por
é:
Passo 1
O enunciado dá a força restauradora dependente da posição
com
e
. Pede o trabalho realizado por essa força quando a mola é alongada por
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Força em função da posição:
. - Constantes:
, . - Deslocamento da mola: de
até .
A pergunta é: qual é o trabalhorealizado por essa força ao levar de a ?
Passo 2
Primeiro, a fórmula básica que usamos: o trabalho realizado por uma força variável unidimensional
ao mover-se de
até
é
Explicando devagar:
é a soma (integração) de pequenas contribuições
ao longo do caminho; aqui
é a coordenada (em metros) e
tem unidades de newtons, então
tem unidades de joules. No nosso caso os limites serão
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com a força dada, montamos a integral:
Aqui cada símbolo significa:
-
e são constantes dadas. -
é a variável de integração (posição). - Os limites
e são a posição inicial e final da mola.
Passo 4
Agora integramos termo a termo. As integrais básicas que usamos são:
Portanto, o antiderivado de
é
onde
é constante de integração (irrelevante para integral definida).
Passo 5
Avaliaremos entre
e
. Substituindo
e
,
Calcule cada termo passo a passo:
Então
e
Somando,
Passo 6
Interpretação física (curta e motivadora): o resultado negativo significa que a força restauradora realiza trabalho negativo durante a extensão (ela aponta na direção oposta ao deslocamento), ou seja, ao alongar a mola o agente externo realiza trabalho positivo de
que fica armazenado como energia potencial elástica. Vai dar tudo certo na prova — esse tipo de raciocínio é bem pedido em questões!