Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
com função de posição
, em que
é suposta derivável até a segunda ordem em
. Suponha que a componente, na direção do deslocamento, da força resultante
que atua sobre a partícula seja
, com
contínua em
, em que
e
. Sabendo que o trabalho
realizado por
de
a
é dado por
, verifique que
ou seja,
é a variação da energia cinética, onde
e
são as velocidades nos instantes
e
, respectivamente.
ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move ao longo do eixo
com uma posição dada por
. A força que age na partícula na direção do deslocamento é
, que é contínua no intervalo considerado. A gente precisa mostrar que o trabalho total
realizado por essa força quando a partícula se move de
para
é igual à variação da energia cinética da partícula, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho, força, movimento e energia cinética da física.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força constante ao mover um objeto de
para
é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. No nosso caso, a força não é constante, mas depende de
, então a expressão geral do trabalho é:
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a energia cinética. A energia cinética
de um objeto em movimento é dada por:
onde
é a velocidade do objeto.
Passo 4
Segundo o teorema do trabalho e da energia, o trabalho realizado pela força resultante em um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto. Matemáticamente, isso é expresso como:
onde
é a energia cinética no instante final
e
é a energia cinética no instante inicial
.
Passo 5
Substituindo a expressão da energia cinética na equação do teorema, temos:
Isso mostra que o trabalho realizado pela força
ao mover a partícula de
para
é igual à diferença das energias cinéticas nos instantes
e
.
Resposta
Assim, verificamos que:
Ou seja, o trabalho
é igual à variação da energia cinética da partícula.