Uma partícula de massa se encontra em um poço quadrado infinito cujo potencial é dado por
Como este potencial é simétrico em relação à origem, a densidade de probabilidade, , também deve ser simétrica. Mostre que as energias permitidas são as mesmas do poço quadrado infinito cujo potencial é dado pela Equação 6-21.
Passo 1
Beleza, temos uma partícula de massa presa num “poço” simétrico cujo potencial é
O que a questão pede é mostrar que, apesar de o potencial crescer linearmente para fora, as energias permitidas acabam sendo as mesmas do poço quadrado infinito padrão (aquele da Eq. 6-21).
Conteúdo necessário:
Equação de Schrödinger dependente de .
Solução em regiões de potencial constante ( trigonométrica) e em regiões de potencial crescente (funções de Airy, que decaem).
Usar simetria par/ímpar e condições de contorno.
Passo 2
Escrevendo a E-Schroedinger estacionária em cada região:
– Região interna ( -hbar^22m,d^2psidx^2=E,psi Longrightarrow d^2psidx^2+k^2psi=0, , -hbar^22m,psi''(x)+(x),psi(x)=E,psi(x) ;Rightarrow; psi(x)simcombinação de Airy, ):
com .
– Regiões externas (, ):
çã
mas o detalhe essencial é que, como para , a solução exigida é a que decai exponencialmente.
Passo 3
Solução geral dentro do poço ( psirm int(x)=Asin(kx)+Bcos(kx) ):
A teoria dos poços de potencial diz que, para um potencial simétrico , as auto-funções podem ser escolhidas como pares ou ímpares.
Passo 4
– Estados pares (“coseno”): ;, logo .
– Estados ímpares (“seno”): ;, logo í.
Passo 5
Na fronteira psirm intl(pmtfrac L2r)=0 , o potencial começa a crescer e o domínio externo funciona como um muro “infinitamente alto” (porque lá fora). Assim, a parte que decai faz com que, na prática, exijamos
Isso equivale exatamente à condição de poço infinito padrão: a onda não “respira” para fora do intervalo .
Passo 6
Aplicando kL = npi, n=1,2,3,dots :
– Para os estados pares ( En = hbar^2pi^2n^22mL^2 ), .
– Para os ímpares (), .
Em ambos os casos a condição unificada é
e, como , fica
Resposta
As energias permitidas são
boxedEn = hbar^2pi^2n^22mL^2, n=1,2,3,dots
exatamente as do poço quadrado infinito da Equação 6-21.