Uma partícula de massa m está confinada em um tubo de comprimento L. (a) Use a relação de indeterminação para estimar a menor energia possível do sistema. (b) Supondo que não existem forças no interior do tubo e que a partícula sofre choques elásticos com as paredes das extremidades do tubo, use a equação de Schrödinger para determinar a energia do estado fundamental da partícula. Compare a resposta com a do item (a).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa presa num “tubo” (caixa) de comprimento .
(a) Primeiro, usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg pra chutar (estimar) qual é a menor energia possível.
(b) Depois, resolvemos a equação de Schrödinger pra caixa infinita (sem forças internas, só colisões elásticas nas paredes) e achamos a energia do estado fundamental.
Conteúdo: Mecânica Quântica – Princípio da Incerteza e poço infinito 1D.
O que precisamos:
  • Relação .
  • Relação .
  • Solução da Eqs. de Schrödinger para partícula livre entre 0 e com .

Passo 2

(a) Estimativa via incerteza:
  1. A ideia é que a partícula está espalhada ao longo de Dersim hbar2,De, então a incerteza de posição Erm min^rm (est) sim (De vale da mesma ordem de . Pra simplificar a gente costuma tomar


2) Se é a ordem de grandeza do momento, a energia cinética mínima estimada é
[
E_{\rm min}^{\rm (est)} \sim \frac{(\Delta p)^2}{2m}
;\approx;
\frac{1}{2m},\Bigl(\frac{\hbar}{2L}\Bigr)^2

\frac{\hbar2}{8,m,L2}.
]
Pronto, é só trocar os valores de e se quiser um número.

Passo 3

(b) Solução exata pela equação de Schrödinger:
  1. Dentro do tubo (0 < x < L), a partícula é livre, então
-hbar^22m,d^2psidx^2 = E,psi,
com psin(x) = A,sin!l(tfracnpiLxr), n=1,2,3,dots .
2) As soluções são
En = n^2pi^2hbar^22m,L^2
e os níveis de energia correspondentes são
E1 = pi^2hbar^22,m,L^2
  1. O estado fundamental é , então

Passo 4

Comparação entre as duas:
  • Estimativa (incerteza):
Erm min^rm (est) = hbar^28mL^2
  • Solução exata ( E1 = pi^2hbar^22mL^2 ):
E1Erm min^rm (est) = pi^2/(2)1/8 =4,pi^2approx 39,5,
Se você dividir um pelo outro dá
ou seja, o chute via incerteza dá a ordem de grandeza correta, mas fica cerca de 40 vezes menor que o valor exato.

Resposta

(a)
(b) aproximadamente 40 vezes maior que a estimativa do item (a).

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