Uma partícula de massa
está confinada em um tubo de comprimento
. (a) Use a relação de indeterminação para estimar a menor energia possível do sistema. (b) Supondo que não existem forças no interior do tubo e que a partícula sofre choques elásticos com as paredes das extremidades do tubo, use a equação de Schrödinger para determinar a energia do estado fundamental da partícula. Compare a resposta com a do item (a).
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa
presa num “tubo” (caixa) de comprimento
.
(a) Primeiro, usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg pra chutar (estimar) qual é a menor energia possível.
(b) Depois, resolvemos a equação de Schrödinger pra caixa infinita (sem forças internas, só colisões elásticas nas paredes) e achamos a energia do estado fundamental.
Conteúdo: Mecânica Quântica – Princípio da Incerteza e poço infinito 1D.
O que precisamos:
(a) Primeiro, usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg pra chutar (estimar) qual é a menor energia possível.
(b) Depois, resolvemos a equação de Schrödinger pra caixa infinita (sem forças internas, só colisões elásticas nas paredes) e achamos a energia do estado fundamental.
Conteúdo: Mecânica Quântica – Princípio da Incerteza e poço infinito 1D.
O que precisamos:
- Relação
. - Relação
. - Solução da Eqs. de Schrödinger para partícula livre entre 0 e
com .
Passo 2
(a) Estimativa via incerteza:
- A ideia é que a partícula está espalhada ao longo de
, então a incerteza de posição vale da mesma ordem de . Pra simplificar a gente costuma tomar
2) Se
é a ordem de grandeza do momento, a energia cinética mínima estimada é
[
E_{\rm min}^{\rm (est)} \sim \frac{(\Delta p)^2}{2m}
;\approx;
\frac{1}{2m},\Bigl(\frac{\hbar}{2L}\Bigr)^2
\frac{\hbar2}{8,m,L2}.
]
]
Pronto, é só trocar os valores de
e
se quiser um número.
Passo 3
(b) Solução exata pela equação de Schrödinger:
- Dentro do tubo (0 < x < L), a partícula é livre, então
com
.
2) As soluções são
2) As soluções são
e os níveis de energia correspondentes são
- O estado fundamental é
, então
Passo 4
Comparação entre as duas:
- Estimativa (incerteza):
- Solução exata (
):
Se você dividir um pelo outro dá
ou seja, o chute via incerteza dá a ordem de grandeza correta, mas fica cerca de 40 vezes menor que o valor exato.
Resposta
(a)
(b) aproximadamente 40 vezes maior que a estimativa do item (a).
(b)