Uma partícula de massa
move-se no eixo x , em movimento retilíneo. A componente de sua aceleração
é dada por
. Obtenha a expressão geral para (a) a velocidade
e (b) determine a expressão para o instante de tempo em que o sentido de movimento da partícula se altera, considerando
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
-
Informações dadas:
- A partícula move-se sobre o eixo
. - A componente da aceleração é
com . Aqui e são constantes (o enunciado não especifica sinais). - Condição inicial para a velocidade:
.
- A partícula move-se sobre o eixo
-
O que o enunciado pede:
- (a) Obter a expressão geral para a velocidade
. - (b) Determinar o instante de tempo em que o sentido do movimento da partícula se altera, considerando
.
- (a) Obter a expressão geral para a velocidade
Passo 2
Lembra da relação básica entre aceleração e velocidade: em movimento unidimensional, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em símbolos,
Para obter a velocidade a partir da aceleração precisamos integrar essa relação (ou seja, tomar uma primitiva de
). Ao integrar aparece uma constante de integração que é determinada por condições iniciais, aqui
. Vou mostrar passo a passo como integrar
.
Passo 3
Integramos termo a termo. Escrevemos
Integrando ambos os lados em relação a
,
Agora calculamos as primitivas separadas:
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 4
Usamos a condição inicial
para achar
. Avaliando
:
Como
, segue
. Portanto a velocidade final é
Como a velocidade é um vetor ao longo do eixo
, escrevemos
Aqui cada símbolo significa:
é o tempo,
constantes do enunciado, e
é o versor na direção
.
Passo 5
Para saber quando o sentido do movimento se altera precisamos achar instantes em que a velocidade muda de sinal. Um ponto candidato é quando a velocidade é zero (cruzamento por zero). Assim resolvemos
Fatorando
,
As raízes dessa equação são
e
Logo as soluções são
Passo 6
Interpretando essas soluções no contexto físico (tempos não-negativos) e olhando para a troca de sentido:
- O instante
é o instante inicial em que a velocidade é zero por hipótese, não é necessariamente a “mudança de sentido” que procuramos (pode ser apenas o início). - O outro instante positivo é
desde que a expressão dentro da raiz seja positiva, isto é, desde que (equivalente a e terem o mesmo sinal). Esse é o instante, estritamente positivo, em que a velocidade volta a ser zero e normalmente ocorre a inversão do sentido do movimento (desde que a velocidade troque de sinal ao atravessar essa raiz).
Para ter certeza da inversão, fazemos um rápido estudo de sinais em torno de
. Para
temos
. Se
e
são positivos então para pequenos
o fator
é negativo (logo
) e para
esse fator torna-se positivo (logo
). Assim a velocidade muda de negativa para positiva nesse instante, caracterizando inversão de sentido. Se
e
são negativos a análise é análoga (sinais trocados). Se
e
têm sinais opostos,
e não há raiz real diferente de zero — nesse caso não existe instante positivo, além de
, em que a velocidade zera, portanto nenhuma inversão ocorre depois de
.
Resposta
(a)
(b) (instante positivo, válido quando
, i.e.
e
têm o mesmo sinal).
(b)