Uma partícula de massa m move-se no eixo x , em movimento retilíneo. A componente de sua aceleração \vec{a}(t)=a(t) \hat{\imath} é dada por a(t)=b t^{2}-c. Obtenha a expressão geral para (a) a velocidade \vec{v}(t) e (b) determine a expressão para o instante de tempo em que o sentido de movimento da partícula se altera, considerando v(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informações dadas:
    • A partícula move-se sobre o eixo x.
    • A componente da aceleração é \vec{a}(t)=a(t)\hat{\imath} com a(t)=b t^{2}-c. Aqui b e c são constantes (o enunciado não especifica sinais).
    • Condição inicial para a velocidade: v(0)=0.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Obter a expressão geral para a velocidade \vec{v}(t).
    • (b) Determinar o instante de tempo em que o sentido do movimento da partícula se altera, considerando v(0)=0.

Passo 2

Lembra da relação básica entre aceleração e velocidade: em movimento unidimensional, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em símbolos,
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Para obter a velocidade a partir da aceleração precisamos integrar essa relação (ou seja, tomar uma primitiva de a(t)). Ao integrar aparece uma constante de integração que é determinada por condições iniciais, aqui v(0)=0. Vou mostrar passo a passo como integrar a(t)=b t^{2}-c.

Passo 3

Integramos termo a termo. Escrevemos
\frac{dv}{dt}=b t^{2}-c.
Integrando ambos os lados em relação a t,
v(t)=\int (b t^{2}-c)\,dt.
Agora calculamos as primitivas separadas:
\int b t^{2}\,dt = b\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{b}{3}t^{3},
\int (-c)\,dt = -c t.
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
v(t)=\frac{b}{3}t^{3}-c t + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial v(0)=0 para achar C. Avaliando v(0):
v(0)=\frac{b}{3}\cdot 0^{3}-c\cdot 0 + C = C.
Como v(0)=0, segue C=0. Portanto a velocidade final é
v(t)=\frac{b}{3}t^{3}-c t.
Como a velocidade é um vetor ao longo do eixo x, escrevemos
\vec{v}(t)=\Big(\frac{b}{3}t^{3}-c t\Big)\hat{\imath}.
Aqui cada símbolo significa: t é o tempo, b,c constantes do enunciado, e \hat{\imath} é o versor na direção x.

Passo 5

Para saber quando o sentido do movimento se altera precisamos achar instantes em que a velocidade muda de sinal. Um ponto candidato é quando a velocidade é zero (cruzamento por zero). Assim resolvemos
v(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{b}{3}t^{3}-c t=0.
Fatorando t,
t\Big(\frac{b}{3}t^{2}-c\Big)=0.
As raízes dessa equação são
t=0
e
\frac{b}{3}t^{2}-c=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{3c}{b}.
Logo as soluções são
t=0,\qquad t=\pm\sqrt{\frac{3c}{b}}.

Passo 6

Interpretando essas soluções no contexto físico (tempos não-negativos) e olhando para a troca de sentido:
  • O instante t=0 é o instante inicial em que a velocidade é zero por hipótese, não é necessariamente a “mudança de sentido” que procuramos (pode ser apenas o início).
  • O outro instante positivo é t=\sqrt{\frac{3c}{b}},desde que a expressão dentro da raiz seja positiva, isto é, desde que \dfrac{3c}{b}>0 (equivalente a b e c terem o mesmo sinal). Esse é o instante, estritamente positivo, em que a velocidade volta a ser zero e normalmente ocorre a inversão do sentido do movimento (desde que a velocidade troque de sinal ao atravessar essa raiz).
Para ter certeza da inversão, fazemos um rápido estudo de sinais em torno de t=\sqrt{3c/b}. Para t>0 temos v(t)=t\big(\tfrac{b}{3}t^{2}-c\big). Se b e c são positivos então para pequenos t>0 o fator \tfrac{b}{3}t^{2}-c é negativo (logo v(t)<0) e para t>\sqrt{3c/b} esse fator torna-se positivo (logo v(t)>0). Assim a velocidade muda de negativa para positiva nesse instante, caracterizando inversão de sentido. Se b e c são negativos a análise é análoga (sinais trocados). Se b e c têm sinais opostos, \tfrac{3c}{b}<0 e não há raiz real diferente de zero — nesse caso não existe instante positivo, além de t=0, em que a velocidade zera, portanto nenhuma inversão ocorre depois de t=0.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}(t)=\Big(\frac{b}{3}t^{3}-c t\Big)\hat{\imath}.
(b) \displaystyle t=\sqrt{\frac{3c}{b}} (instante positivo, válido quando \dfrac{3c}{b}>0, i.e. b e c têm o mesmo sinal).

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