Durante uma tempestade, o vento sopra sobre um galpão, com velocidade de 108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A densidade do ar é de 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Determine: a) a diferença de pressão entre a parte interna e a parte externa do galpão; b) a força resultante de baixo para cima, que atua sobre o telhado (devido a diferença de pressão), sendo que o mesmo mede 20 m por 30 m ; c) se o telhado suporta uma diferença de pressão máxima de 1050 Pa , ache a velocidade máxima que o vento pode ter para NÃO arrancar o telhado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
  • Perguntas:
    1. Calcular a diferença de pressão entre o interior e o exterior do galpão.
    2. Calcular a força resultante de baixo para cima sobre o telhado, causada por essa diferença de pressão, sabendo as dimensões do telhado.
    3. Determinar a velocidade máxima do vento que não arrancaria o telhado, dado um limite máximo de diferença de pressão que o telhado suporta.
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade do vento: 108\\ \mathrm{km/h}.
    • Densidade do ar: \rho = 1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Dimensões do telhado: 20\\ \mathrm{m} por 30\\ \mathrm{m} (vou usar isso para calcular a área).
    • Diferença de pressão máxima suportada pelo telhado: \Delta p_{\max} = 1050\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter a velocidade do vento para unidades do SI ( \mathrm{m/s}), porque a fórmula que vamos usar exige isso. A conversão é:
1\\ \mathrm{km/h} = \frac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = \frac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}.
Então
v = \frac{108}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 30\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: dividir por 3{,}6 transforma \mathrm{km/h} em \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora a fórmula física que usamos: quando o ar se move sobre uma superfície, a pressão estática nessa região pode ser menor que a pressão do ar parado no interior. Uma boa aproximação (obtida a partir do Teorema de Bernoulli para escoamento incompressível e sem grandes perdas) é que a diferença de pressão entre ar parado e ar em movimento é a chamada pressão dinâmica:
\Delta p = \frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}.
O que cada símbolo significa:
  • \Delta p é a diferença de pressão (em pascal, \mathrm{Pa}, onde 1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{N/m^{2}});
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • v é a velocidade do fluido ( \mathrm{m/s});
  • o fator \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a energia cinética por unidade de volume — em linguagem prática, é a “pressão” associada ao movimento do ar.
Observação de método: usamos essa fórmula porque o enunciado pede uma diferença de pressão causada pelo vento e essa é a aproximação padrão em problemas de vento sobre superfícies planas. É simples e aplica-se bem quando não precisamos de detalhes de escoamento turbulento complexos.

Passo 4

Calcular a diferença de pressão usando a fórmula. Substituindo \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}} e v=30\\ \mathrm{m/s}:
\Delta p = \frac{1}{2}\cdot 1{,}2 \cdot 30^{2}.
Faço as contas passo a passo:
  • 30^{2} = 900.
  • \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}2 = 0{,}6.
  • 0{,}6 \cdot 900 = 540.
Logo
\Delta p = 540\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: isto significa que, aproximadamente, a pressão externa é 540\\ \mathrm{Pa} menor que a pressão interna (se o interior estiver praticamente em repouso).

Passo 5

Agora a força resultante sobre o telhado: a pressão age por unidade de área, então a força total é
F = \Delta p \cdot A,
em que A é a área do telhado. Calculamos a área com as dimensões dadas:
A = 20\\ \mathrm{m} \times 30\\ \mathrm{m} = 600\\ \mathrm{m^{2}}.
Substituindo:
F = 540\\ \mathrm{Pa} \times 600\\ \mathrm{m^{2}}.
Cálculo:
F = 324\,000\\ \mathrm{N}.
Unidade: \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^{2}}, então \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^{2}} = \mathrm{N}. Interpretação: essa é a força resultante dirigida de baixo para cima (o interior empurra para fora mais que o exterior empurra para dentro), por isso tende a levantar o telhado.

Passo 6

Agora a terceira pergunta: dado que o telhado suporta no máximo \Delta p_{\max}=1050\\ \mathrm{Pa}, qual é a velocidade máxima do vento v_{\max} para que a pressão dinâmica não exceda esse valor?
Partimos da mesma fórmula e isolamos v:
\Delta p_{\max} = \frac{1}{2}\rho v_{\max}^{2} \quad\Rightarrow\quad v_{\max} = \sqrt{\frac{2\Delta p_{\max}}{\rho}}.
Substituindo os números \Delta p_{\max}=1050\\ \mathrm{Pa} e \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
v_{\max} = \sqrt{\frac{2\cdot 1050}{1{,}2}}.
Faço as contas:
  • 2\cdot 1050 = 2100.
  • \dfrac{2100}{1{,}2} = 1750.
  • \sqrt{1750}\approx 41{,}833\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente, v_{\max}\approx 41{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para \mathrm{km/h} (multiplica-se por 3{,}6):
v_{\max}\approx 41{,}833\cdot 3{,}6 \approx 150{,}6\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação: se o vento passar de cerca de 150{,}6\\ \mathrm{km/h}, a diferença de pressão idealizada por esta fórmula excederia o limite de 1050\\ \mathrm{Pa} e o telhado, teoricamente, correria risco de ser arrancado.

Passo 7

Observações finais e limites da aproximação (importante para a prova/vida real):
  • Usamos a pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho v^{2}, que é a aproximação usual. Ela assume escoamento incompressível, fluxo relativamente uniforme e não leva em conta efeitos locais de turbulência, rajadas, fatores aerodinâmicos do formato do telhado, nem efeitos estruturais do telhado (fixações, ângulo, etc.). Portanto, na prática engenheiral, costuma-se aplicar fatores de segurança maiores.
  • Nas contas aqui fizemos tudo sem calculadora complexa: conversão de unidades, cálculo direto de v^{2} e multiplicações simples — coisas que você consegue fazer na prova com calma.

Resposta

(a) \Delta p = 540\\ \mathrm{Pa}
(b) F = 324\,000\\ \mathrm{N}
(c) v_{\max} \approx 41{,}8\\ \mathrm{m/s} \approx 150{,}6\\ \mathrm{km/h}

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