Uma partícula de massa
move-se no plano
, de modo que seu vetor posição é
, onde
e
são constantes positivas e
B. Considerando
e
, ache a posição, a velocidade, a aceleração e a força da particula. Use as unidades: metro, segundos e quilogramas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples no plano $ xy $. A questão nos dá a posição de uma partícula em função do tempo e pede para encontrar a posição, velocidade, aceleração e força dela em um determinado instante. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções de posição para obter velocidade e aceleração, e depois aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a força.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as medidas de centímetros para metros, já que precisamos trabalhar nas unidades padrão:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores dados na função posição $ \vec{r}(t) $:
Sabemos que $ \omega = 2\pi f $, então:
E o tempo dado é $ t = \frac{1}{240} , s $.
Vamos calcular $ \omega t $:
Então, a posição no tempo $ t = \frac{1}{240} , s $ é:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Passo 4
Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. A derivada da função $ \vec{r}(t) $ nos dá a velocidade $ \vec{v}(t) $:
Substituindo os valores de $ \omega $ e $ t $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada da posição:
Substituindo os valores de $ \omega $ e $ t $:
Calculando $ \omega^2 = (60\pi)^2 = 3600\pi^2 $:
Passo 6
Finalmente, para encontrar a força, usamos a segunda lei de Newton, que diz que a força é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Dado que $ m = \frac{1}{2} , kg $:
Resposta
A posição, velocidade, aceleração e força da partícula no instante $ t = \frac{1}{240} , s $ são: