Uma partícula de massa m move-se no plano x y, de modo que seu vetor posição é r(t)=A cos (omega t) i+B sen(omega t) j, onde A, B e omega são constantes positivas e A> B. Considerando A=300 cm, B=200 cm, omega=2 pi f, f=30 Hz, t=1 / 240 s, m=1 / 2 Kg e 1 Hz=s^-1, ache a posição, a velocidade, a aceleração e a força da particula. Use as unidades: metro, segundos e quilogramas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples no plano $ xy $. A questão nos dá a posição de uma partícula em função do tempo e pede para encontrar a posição, velocidade, aceleração e força dela em um determinado instante. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções de posição para obter velocidade e aceleração, e depois aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a força.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as medidas de centímetros para metros, já que precisamos trabalhar nas unidades padrão:
A = 300 , cm = 3 , m
B = 200 , cm = 2 , m

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores dados na função posição $ \vec{r}(t) $:
r(t)
Sabemos que $ \omega = 2\pi f $, então:
r(t) = 3 cos(omega t) , i + 2 sin(omega t) , j
E o tempo dado é $ t = \frac{1}{240} , s $.
Vamos calcular $ \omega t $:
omega = 2pi f
Então, a posição no tempo $ t = \frac{1}{240} , s $ é:
omega = 2pi times 30 = 60pi , rad/s
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
t = 1240 , s

Passo 4

Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. A derivada da função $ \vec{r}(t) $ nos dá a velocidade $ \vec{v}(t) $:
r(t)
Substituindo os valores de $ \omega $ e $ t $:
v(t)
Simplificando:
v(t) = dr(t)dt = -3omega sin(omega t) , i + 2omega cos(omega t) , j

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada da posição:
a(t) = dv(t)dt = -3omega^2 cos(omega t) , i - 2omega^2 sin(omega t) , j
Substituindo os valores de $ \omega $ e $ t $:
omega
Calculando $ \omega^2 = (60\pi)^2 = 3600\pi^2 $:
t

Passo 6

Finalmente, para encontrar a força, usamos a segunda lei de Newton, que diz que a força é igual à massa multiplicada pela aceleração:
F = m a
Dado que $ m = \frac{1}{2} , kg $:
m = 12 , kg

Resposta

A posição, velocidade, aceleração e força da partícula no instante $ t = \frac{1}{240} , s $ são:
t = 1240 , s
r(1240) = 3raiz22 , i + raiz2 , j , m
v(1240) = -90piraiz2 , i + 60piraiz2 , j , m/s
a(1240) = -5400pi^2raiz2 , i - 3600pi^2raiz2 , j , m/s^2

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