Uma partícula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por
(com unidade de Newton). Assumindo que em
a partícula está localizada
(com unidade de metro) e tem velocidade
, ache a velocidade em qualquer tempo t.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m = \frac{2}{3} $ kg que está se movendo sob a ação de uma força que depende do tempo. A força é dada por:
Além disso, sabemos que em $ t = 0 $ segundos, a partícula está na posição $ \vec{r}_0 = 3 \hat{\imath} - \hat{\jmath} + 4 \hat{k} $ metros e tem uma velocidade inicial de $ \vec{v}_0 = 6 \hat{\imath} + 15 \hat{\jmath} - 8 \hat{k} $ m/s. Nosso objetivo aqui é achar a velocidade da partícula em qualquer tempo $ t $.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Precisaremos calcular a aceleração a partir da força e, em seguida, integrar a aceleração para encontrar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz:
Aqui, $ \vec{F} $ é a força aplicada, $ m $ é a massa da partícula, e $ \vec{a} $ é a aceleração. Queremos achar a aceleração, então vamos rearranjar a fórmula:
Isso nos dá a aceleração como função do tempo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração nos três eixos $ \hat{\imath} $, $ \hat{\jmath} $ e $ \hat{k} $ dividindo cada componente da força pela massa $ m = \frac{2}{3} $ kg:
Fazendo as divisões:
Passo 4
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar a velocidade $ \vec{v}(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo e adicionar a velocidade inicial $ \vec{v}_0 $:
Passo 5
Vamos integrar cada componente da aceleração:
Aqui, $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes de integração. Mas como estamos considerando a velocidade inicial, essas constantes serão ajustadas de acordo com $ \vec{v}_0 $.
Passo 6
Agora, somamos as integrais à velocidade inicial:
Simplificando:
Passo 7
Portanto, a velocidade da partícula em qualquer tempo $ t $ é dada por:
Resposta
A velocidade da partícula em qualquer tempo $ t $ é: