Uma partícula de massa m=2 / 3 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=8 t^2 i+ (12 t-16 / 3) jmath-4 t k (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a partícula está localizada cm r0=3 i-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8k, ache a velocidade em qualquer tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m = \frac{2}{3} $ kg que está se movendo sob a ação de uma força que depende do tempo. A força é dada por:
m = 23
Além disso, sabemos que em $ t = 0 $ segundos, a partícula está na posição $ \vec{r}_0 = 3 \hat{\imath} - \hat{\jmath} + 4 \hat{k} $ metros e tem uma velocidade inicial de $ \vec{v}_0 = 6 \hat{\imath} + 15 \hat{\jmath} - 8 \hat{k} $ m/s. Nosso objetivo aqui é achar a velocidade da partícula em qualquer tempo $ t $.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Precisaremos calcular a aceleração a partir da força e, em seguida, integrar a aceleração para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz:
F = m a
Aqui, $ \vec{F} $ é a força aplicada, $ m $ é a massa da partícula, e $ \vec{a} $ é a aceleração. Queremos achar a aceleração, então vamos rearranjar a fórmula:
F
Isso nos dá a aceleração como função do tempo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração nos três eixos $ \hat{\imath} $, $ \hat{\jmath} $ e $ \hat{k} $ dividindo cada componente da força pela massa $ m = \frac{2}{3} $ kg:
imath
Fazendo as divisões:
jmath

Passo 4

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Para encontrar a velocidade $ \vec{v}(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo e adicionar a velocidade inicial $ \vec{v}_0 $:
v(t)

Passo 5

Vamos integrar cada componente da aceleração:
integral 12 t^2 , dt = 4 t^3 + C1
integral (18 t - 8) , dt = 9 t^2 - 8t + C2
integral -6t , dt = -3 t^2 + C3
Aqui, $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes de integração. Mas como estamos considerando a velocidade inicial, essas constantes serão ajustadas de acordo com $ \vec{v}_0 $.

Passo 6

Agora, somamos as integrais à velocidade inicial:
v(t) = (6 imath + 15 jmath - 8 k) + (4 t^3 imath + 9 t^2 - 8 t) jmath + (-3 t^2) k
Simplificando:
v(t) = (6 + 4 t^3) imath + (15 + 9 t^2 - 8 t) jmath + (-8 - 3 t^2) k

Passo 7

Portanto, a velocidade da partícula em qualquer tempo $ t $ é dada por:
t

Resposta

A velocidade da partícula em qualquer tempo $ t $ é:
t

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