- Uma partícula move-se com aceleração
e velocidade inicial
a) Determine a velocidade
.
b) Sabendo que
determine o vetor posição
.
b) Sabendo que
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- A aceleração da partícula é
. - A velocidade inicial é
. - A posição inicial é
.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade .
(b) Sabendo , determinar a posição
.
(a) Determinar a velocidade
(b) Sabendo
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicado de forma didática):
- Aceleração é a derivada da velocidade:
. Isso significa que, para obter , precisamos integrar em relação a :
onde
é uma constante vetorial (cada componente tem sua constante).
- Depois, posição é a primitiva da velocidade:
, então
onde
é outra constante vetorial determinada por
.
Regras de integração usadas (lembrando com exemplos simples):
-
(por exemplo, ). -
. -
para constante.
Vamos aplicar essas integrais componente a componente.
Passo 3
Integrando a componente
da aceleração:
A componente é
.
A componente
Portanto
.
Usamos a condição inicial na componente
:
Logo
Passo 4
Integrando a componente
da aceleração:
A componente é
.
A componente
Portanto
.
Usamos a condição inicial na componente
:
Logo
Passo 5
Integrando a componente
da aceleração:
A componente é
(constante).
A componente
Portanto
.
Usamos a condição inicial na componente
:
Logo
Passo 6
Juntando as componentes obtidas, a velocidade vetorial é
Conferência rápida: em
obtemos
, que coincide com a dada — ótimo, constante foi correta.
Passo 7
Agora vamos obter a posição integrando cada componente de
. O procedimento é exatamente o mesmo: para cada componente
fazemos
e ajustamos a constante usando
.
Passo 8
Integrando a componente
da velocidade:
Usando
na componente
:
. Assim
Passo 9
Integrando a componente
da velocidade:
Usando
:
Portanto
Passo 10
Integrando a componente
da velocidade:
Usando
:
Logo
Passo 11
Juntando as componentes, a posição vetorial é
Conferência rápida: em
isso dá
, que é a condição inicial pedida.