1. Uma partícula move-se com aceleração
\mathbf{a}(t)=(6 t-2) \mathbf{i}+4 e^{t} \mathbf{j}+3 \mathbf{k}
e velocidade inicial
\mathbf{v}(0)=2 \mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}
a) Determine a velocidade \mathbf{v}(t) .
b) Sabendo que
\mathbf{r}(0)=\langle 1,2,-1\rangle
determine o vetor posição \mathbf{r}(t) .

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A aceleração da partícula é \mathbf{a}(t)=(6 t-2)\mathbf{i}+4 e^{t}\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
  • A velocidade inicial é \mathbf{v}(0)=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}.
  • A posição inicial é \mathbf{r}(0)=\langle 1,2,-1\rangle.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade \mathbf{v}(t).
(b) Sabendo \mathbf{r}(0)=\langle 1,2,-1\rangle, determinar a posição \mathbf{r}(t).

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicado de forma didática):
  • Aceleração é a derivada da velocidade: \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t). Isso significa que, para obter \mathbf{v}(t), precisamos integrar \mathbf{a}(t) em relação a t:
\mathbf{v}(t)=\int \mathbf{a}(t)\,dt + \mathbf{C},
onde \mathbf{C} é uma constante vetorial (cada componente tem sua constante).
  • Depois, posição é a primitiva da velocidade: \mathbf{r}'(t)=\mathbf{v}(t), então
\mathbf{r}(t)=\int \mathbf{v}(t)\,dt + \mathbf{D},
onde \mathbf{D} é outra constante vetorial determinada por \mathbf{r}(0).
Regras de integração usadas (lembrando com exemplos simples):
  • \displaystyle\int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C (por exemplo, \int 3t^2 dt = t^3 + C).
  • \displaystyle\int e^{t}\,dt=e^{t}+C.
  • \displaystyle\int a\,dt = a t + C para a constante.
Vamos aplicar essas integrais componente a componente.

Passo 3

Integrando a componente x da aceleração:
A componente x é a_x(t)=6t-2.
\text{Integramos: }\; \int(6t-2)\,dt = \int 6t\,dt - \int 2\,dt = 3t^{2}-2t + C_x.
Portanto v_x(t)=3t^{2}-2t+C_x.
Usamos a condição inicial na componente x:
v_x(0)=C_x=2 \quad\text{(pois \(\mathbf{v}(0)\) tem componente \(2\) em \(\mathbf{i}\))}.
Logo
v_x(t)=3t^{2}-2t+2.

Passo 4

Integrando a componente y da aceleração:
A componente y é a_y(t)=4e^{t}.
\text{Integramos: }\; \int 4e^{t}\,dt = 4e^{t} + C_y.
Portanto v_y(t)=4e^{t}+C_y.
Usamos a condição inicial na componente y:
v_y(0)=4\cdot 1 + C_y = -1 \quad\Rightarrow\quad C_y=-5.
Logo
v_y(t)=4e^{t}-5.

Passo 5

Integrando a componente z da aceleração:
A componente z é a_z(t)=3 (constante).
\text{Integramos: }\; \int 3\,dt = 3t + C_z.
Portanto v_z(t)=3t+C_z.
Usamos a condição inicial na componente z:
v_z(0)=C_z=1 \quad\text{(pois \(\mathbf{v}(0)\) tem componente \(1\) em \(\mathbf{k}\))}.
Logo
v_z(t)=3t+1.

Passo 6

Juntando as componentes obtidas, a velocidade vetorial é
\mathbf{v}(t)=(3t^{2}-2t+2)\mathbf{i}+(4e^{t}-5)\mathbf{j}+(3t+1)\mathbf{k}.
Conferência rápida: em t=0 obtemos \mathbf{v}(0)=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}, que coincide com a dada — ótimo, constante foi correta.

Passo 7

Agora vamos obter a posição integrando cada componente de \mathbf{v}(t). O procedimento é exatamente o mesmo: para cada componente v_x,v_y,v_z fazemos \int v_i(t)\,dt e ajustamos a constante usando \mathbf{r}(0).

Passo 8

Integrando a componente x da velocidade:
v_x(t)=3t^{2}-2t+2.
\int v_x(t)\,dt = \int (3t^{2}-2t+2)\,dt = t^{3}-t^{2}+2t + D_x.
Usando \mathbf{r}(0) na componente x: r_x(0)=D_x=1. Assim
r_x(t)=t^{3}-t^{2}+2t+1.

Passo 9

Integrando a componente y da velocidade:
v_y(t)=4e^{t}-5.
\int v_y(t)\,dt = \int (4e^{t}-5)\,dt = 4e^{t}-5t + D_y.
Usando r_y(0)=2:
4\cdot 1 - 0 + D_y = 2 \quad\Rightarrow\quad D_y = -2.
Portanto
r_y(t)=4e^{t}-5t-2.

Passo 10

Integrando a componente z da velocidade:
v_z(t)=3t+1.
\int v_z(t)\,dt = \int (3t+1)\,dt = \tfrac{3}{2}t^{2}+t + D_z.
Usando r_z(0)=-1:
D_z = -1.
Logo
r_z(t)=\tfrac{3}{2}t^{2}+t-1.

Passo 11

Juntando as componentes, a posição vetorial é
\mathbf{r}(t)=\langle t^{3}-t^{2}+2t+1,\; 4e^{t}-5t-2,\; \tfrac{3}{2}t^{2}+t-1\rangle.
Conferência rápida: em t=0 isso dá \langle 1,2,-1\rangle, que é a condição inicial pedida.

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(t)=(3t^{2}-2t+2)\mathbf{i}+(4e^{t}-5)\mathbf{j}+(3t+1)\mathbf{k}
\displaystyle \mathbf{r}(t)=\langle t^{3}-t^{2}+2t+1,\;4e^{t}-5t-2,\;\tfrac{3}{2}t^{2}+t-1\rangle

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