- A posição de uma partícula é dada por
a) Determine a velocidade
.
b) Determine a aceleração
.
c) Calcule a velocidade escalar no instante
.
d) Determine a aceleração no instante
.
b) Determine a aceleração
c) Calcule a velocidade escalar no instante
d) Determine a aceleração no instante
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
As perguntas são:
a) determinar a velocidade ;
b) determinar a aceleração ;
c) calcular a velocidade escalar (ou rapidez) no instante ;
d) determinar a aceleração no instante .
a) determinar a velocidade
b) determinar a aceleração
c) calcular a velocidade escalar (ou rapidez) no instante
d) determinar a aceleração no instante
Informações relevantes fornecidas:
- A posição é dada por duas componentes dependentes de
: componente é e componente é . - Para obter velocidade e aceleração precisamos derivar em relação a
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar para velocidade: a velocidade vetorial
é a derivada temporal da posição
,
Isto significa que derivamos componente a componente: se
, então
.
Regra útil (regra do poder): para tem-se
. Para constantes multiplicativas e soma, a derivada distribui linearmente.
Regra útil (regra do poder): para
Passo 3
Derivar a componente
usando a regra do poder e linearidade:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Derivar a componente
:
- derivada de
é , - derivada de
(constante) é .
Portanto
Passo 5
Juntando as componentes derivadas obtemos a velocidade vetorial:
Isto responde a letra (a). Lembre que cada componente indica a taxa de variação da posição nas direções
e
.
Passo 6
Conceito e fórmula para aceleração: a aceleração vetorial
é a derivada temporal da velocidade
,
Aplicamos novamente a derivação componente a componente.
Passo 7
Derivar as componentes de
:
- para a componente
, tem derivada ; - para a componente
, tem derivada .
Logo
Isto responde a letra (b).
Passo 8
Agora calculamos a velocidade escalar (rapidez) no instante
. A velocidade escalar é o módulo do vetor velocidade:
onde
e
são as componentes da velocidade. Primeiro avaliamos as componentes em
:
Portanto
. Agora o módulo:
Fatorando
obtemos
Isto responde a letra (c).
Passo 9
Finalmente, determinamos a aceleração no instante
substituindo em
:
Logo
Isto responde a letra (d). Vai dar tudo certo na prova — pratique esse tipo de derivação componente a componente mais algumas vezes que fica automático.
Resposta
a)
b)
c)
d)