1. A posição de uma partícula é dada por
\mathbf{r}(t)=\left(t^{3}-2 t\right) \mathbf{i}+\left(3 t^{2}+1\right) \mathbf{j}
a) Determine a velocidade \mathbf{v}(t) .
b) Determine a aceleração \mathbf{a}(t) .
c) Calcule a velocidade escalar no instante t=2 .
d) Determine a aceleração no instante t=2 .

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
\mathbf{r}(t)=\left(t^{3}-2 t\right)\mathbf{i}+\left(3 t^{2}+1\right)\mathbf{j}.
As perguntas são:
a) determinar a velocidade \mathbf{v}(t);
b) determinar a aceleração \mathbf{a}(t);
c) calcular a velocidade escalar (ou rapidez) no instante t=2;
d) determinar a aceleração no instante t=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A posição é dada por duas componentes dependentes de t: componente x é t^{3}-2t e componente y é 3t^{2}+1.
  • Para obter velocidade e aceleração precisamos derivar em relação a t.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para velocidade: a velocidade vetorial \mathbf{v}(t) é a derivada temporal da posição \mathbf{r}(t),
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.
Isto significa que derivamos componente a componente: se \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}, então \mathbf{v}(t)=x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}.
Regra útil (regra do poder): para x(t)=t^{n} tem-se x'(t)=n t^{n-1}. Para constantes multiplicativas e soma, a derivada distribui linearmente.

Passo 3

Derivar a componente x(t)=t^{3}-2t usando a regra do poder e linearidade:
  • derivada de t^{3} é 3t^{2},
  • derivada de -2t é -2.
    Portanto
x'(t)=3t^{2}-2.

Passo 4

Derivar a componente y(t)=3t^{2}+1:
  • derivada de 3t^{2} é 3\cdot 2t=6t,
  • derivada de 1 (constante) é 0.
    Portanto
y'(t)=6t.

Passo 5

Juntando as componentes derivadas obtemos a velocidade vetorial:
\mathbf{v}(t)=\bigl(3t^{2}-2\bigr)\mathbf{i}+\bigl(6t\bigr)\mathbf{j}.
Isto responde a letra (a). Lembre que cada componente indica a taxa de variação da posição nas direções \mathbf{i} e \mathbf{j}.

Passo 6

Conceito e fórmula para aceleração: a aceleração vetorial \mathbf{a}(t) é a derivada temporal da velocidade \mathbf{v}(t),
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}.
Aplicamos novamente a derivação componente a componente.

Passo 7

Derivar as componentes de \mathbf{v}(t):
  • para a componente x, 3t^{2}-2 tem derivada 6t;
  • para a componente y, 6t tem derivada 6.
    Logo
\mathbf{a}(t)=\bigl(6t\bigr)\mathbf{i}+\bigl(6\bigr)\mathbf{j}.
Isto responde a letra (b).

Passo 8

Agora calculamos a velocidade escalar (rapidez) no instante t=2. A velocidade escalar é o módulo do vetor velocidade:
\text{rapidez }=|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}},
onde v_{x}(t) e v_{y}(t) são as componentes da velocidade. Primeiro avaliamos as componentes em t=2:
v_{x}(2)=3\cdot 2^{2}-2=3\cdot 4-2=12-2=10,
v_{y}(2)=6\cdot 2=12.
Portanto \mathbf{v}(2)=10\mathbf{i}+12\mathbf{j}. Agora o módulo:
|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{10^{2}+12^{2}}=\sqrt{100+144}=\sqrt{244}.
Fatorando 244=4\cdot 61 obtemos
|\mathbf{v}(2)|=2\sqrt{61}.
Isto responde a letra (c).

Passo 9

Finalmente, determinamos a aceleração no instante t=2 substituindo em \mathbf{a}(t):
a_{x}(2)=6\cdot 2=12,
a_{y}(2)=6.
Logo
\mathbf{a}(2)=12\mathbf{i}+6\mathbf{j}.
Isto responde a letra (d). Vai dar tudo certo na prova — pratique esse tipo de derivação componente a componente mais algumas vezes que fica automático.

Resposta

a) \mathbf{v}(t)=\bigl(3t^{2}-2\bigr)\mathbf{i}+\bigl(6t\bigr)\mathbf{j}
b) \mathbf{a}(t)=\bigl(6t\bigr)\mathbf{i}+\bigl(6\bigr)\mathbf{j}
c) |\mathbf{v}(2)|=2\sqrt{61}
d) \mathbf{a}(2)=12\mathbf{i}+6\mathbf{j}

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