Uma partícula se move ao longo do caminho
de modo que para
. Calcule o vetor de velocidade naquele instante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo ao longo do caminho definido pela equação $ y = x^{2} + x + 1 $. A gente sabe que, quando $ x = 1 , m $, a velocidade na direção $ y $ é $ v_{y} = 3 , m/s $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o vetor velocidade da partícula nesse instante específico.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para relacionar as velocidades nas direções $ x $ e $ y $. Além disso, vamos precisar entender como montar um vetor velocidade a partir dessas componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Essa derivada nos dá a inclinação da trajetória naquele ponto específico.
A equação da trajetória é:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos relacionar as velocidades $ v_{x} $ e $ v_{y} $. Sabemos que a velocidade na direção $ y $ ($ v_{y} $) está relacionada à velocidade na direção $ x $ ($ v_{x} $) pela derivada $ \frac{dy}{dx} $. A relação é dada por:
Isso porque $ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $, e $ \frac{dy}{dt} $ é exatamente $ v_{y} $, enquanto $ \frac{dx}{dt} $ é $ v_{x} $.
Passo 4
Vamos substituir os valores que conhecemos na equação:
Sabemos que quando $ x = 1 , m $:
E que:
Substituindo na relação entre $ v_{y} $ e $ v_{x} $:
Resolvendo para $ v_{x} $:
Passo 5
Agora que temos as duas componentes da velocidade, podemos montar o vetor velocidade. O vetor velocidade $ \vec{v} $ é dado por:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
O vetor velocidade da partícula naquele instante é: