Uma partícula move-se em um plano sob a influência de uma força central cuja magnitude é dada por
Fr=1r^2(1-dotr^2-2 ddotr rc^2),
onde r é a distância da partícula ao centro de força. Encontre o potencial generalizado o qual resulta em tal força e construa a lagrangiana para o movimento no plano.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma partícula que se move em um plano sob a ação de uma força central com a magnitude dada por
Fr = 1r^2(1 - dotr^2 - 2 ddotr rc^2)
Nosso objetivo é encontrar o potencial generalizado que gera essa força e, a partir dele, construir a lagrangiana para o movimento da partícula no plano.
Os conceitos que vamos usar envolvem dinâmicas de forças centrais, potenciais generalizados e a formulação da lagrangiana na mecânica clássica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma força central. Uma força central é aquela que atua ao longo da linha que conecta a partícula a um ponto fixo (o centro), e sua magnitude depende apenas da distância r da partícula a esse centro.
A força que nos foi dada é:
Fr = 1r^2(1 - dotr^2 - 2 ddotr rc^2)
Observamos que essa força depende não apenas da posição r, mas também das velocidades dotr e das acelerações ddotr. Isso sugere que o potencial associado pode depender tanto de r quanto de dotr, ou seja, ser um potencial generalizado.

Passo 3

Para relacionar a força com o potencial, lembramos que em sistemas conservativos, a força pode ser derivada de um potencial U(r) pela relação:
Fr = -dUdr
Entretanto, como nossa força também depende de dotr e ddotr, precisamos considerar um potencial que vá além da dependência apenas em r. Isso nos leva à ideia de um potencial generalizado que inclui termos dependentes da velocidade.

Passo 4

Na formulação lagrangiana, o Lagrangiano L é dado por:
L = T - U
onde T é a energia cinética e U é a energia potencial. Para uma partícula se movendo em um plano, a energia cinética pode ser expressa como:
T = 12m(dotr^2 + r^2dottheta^2)
Assumindo que a massa m = 1 para simplificação, o Lagrangiano fica:
L = 12(dotr^2 + r^2dottheta^2) - U(r, dotr)

Passo 5

Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange:
ddt(partial Lpartial dotr) - partial Lpartial r = 0
Calculando as derivadas:
partial Lpartial dotr = dotr - partial Upartial dotr
ddt(partial Lpartial dotr) = ddotr - ddt(partial Upartial dotr)
partial Lpartial r = rdottheta^2 - partial Upartial r
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
ddotr - ddt(partial Upartial dotr) - rdottheta^2 + partial Upartial r = 0

Passo 6

Comparando com a força dada, sabemos que em dinâmica clássica:
Fr = m(ddotr - rdottheta^2)
Assumindo m = 1, temos:
ddotr - rdottheta^2 = 1r^2(1 - dotr^2 - 2 ddotr rc^2)
Rearranjando os termos para isolar ddotr:
ddotr(1 + 2c^2r) = 1r^2 - dotr^2c^2r^2
Isso sugere uma relação que envolve ddotr, r e dotr, indicando que o potencial U deve ser escolhido de maneira a reproduzir essa equação.

Passo 7

Vamos propor um potencial na forma:
U(r, dotr) = 1r - dotr^2c^2r
Calculando as derivadas necessárias:
partial Upartial r = -1r^2 + dotr^2c^2r^2
partial Upartial dotr = -2dotrc^2r
ddt(partial Upartial dotr) = -2ddotrc^2r + 2dotr^2c^2r^2
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
ddotr - (-2ddotrc^2r + 2dotr^2c^2r^2) - rdottheta^2 + (-1r^2 + dotr^2c^2r^2) = 0
Simplificando:
ddotr + 2ddotrc^2r - 2dotr^2c^2r^2 - rdottheta^2 - 1r^2 + dotr^2c^2r^2 = 0
ddotr(1 + 2c^2r) - dotr^2c^2r^2 - rdottheta^2 - 1r^2 = 0
Que coincide com a equação que obtivemos anteriormente, confirmando que nossa escolha de potencial está correta.

Passo 8

Agora, com o potencial identificado, podemos escrever a lagrangiana completa:
L = 12(dotr^2 + r^2dottheta^2) - (1r - dotr^2c^2r)
Simplificando os termos:
L = 12dotr^2 + 12r^2dottheta^2 - 1r + dotr^2c^2r

Resposta

O potencial generalizado é
U(r, dotr) = 1r - dotr^2c^2 r
e a lagrangiana para o movimento no plano é
L = 12 dotr^2 + 12 r^2 dottheta^2 - 1r + dotr^2c^2 r

Exercícios relacionados