Uma partícula move-se em um plano sob a influência de uma força central cuja magnitude é dada por
onde
é a distância da partícula ao centro de força. Encontre o potencial generalizado o qual resulta em tal força e construa a lagrangiana para o movimento no plano.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma partícula que se move em um plano sob a ação de uma força central com a magnitude dada por
Nosso objetivo é encontrar o potencial generalizado que gera essa força e, a partir dele, construir a lagrangiana para o movimento da partícula no plano.
Os conceitos que vamos usar envolvem dinâmicas de forças centrais, potenciais generalizados e a formulação da lagrangiana na mecânica clássica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma força central. Uma força central é aquela que atua ao longo da linha que conecta a partícula a um ponto fixo (o centro), e sua magnitude depende apenas da distância
da partícula a esse centro.
A força que nos foi dada é:
Observamos que essa força depende não apenas da posição
, mas também das velocidades
e das acelerações
. Isso sugere que o potencial associado pode depender tanto de
quanto de
, ou seja, ser um potencial generalizado.
Passo 3
Para relacionar a força com o potencial, lembramos que em sistemas conservativos, a força pode ser derivada de um potencial
pela relação:
Entretanto, como nossa força também depende de
e
, precisamos considerar um potencial que vá além da dependência apenas em
. Isso nos leva à ideia de um potencial generalizado que inclui termos dependentes da velocidade.
Passo 4
Na formulação lagrangiana, o Lagrangiano
é dado por:
onde
é a energia cinética e
é a energia potencial. Para uma partícula se movendo em um plano, a energia cinética pode ser expressa como:
Assumindo que a massa
para simplificação, o Lagrangiano fica:
Passo 5
Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Passo 6
Comparando com a força dada, sabemos que em dinâmica clássica:
Assumindo
, temos:
Rearranjando os termos para isolar
:
Isso sugere uma relação que envolve
,
e
, indicando que o potencial
deve ser escolhido de maneira a reproduzir essa equação.
Passo 7
Vamos propor um potencial na forma:
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Que coincide com a equação que obtivemos anteriormente, confirmando que nossa escolha de potencial está correta.
Passo 8
Agora, com o potencial identificado, podemos escrever a lagrangiana completa:
Simplificando os termos:
Resposta
O potencial generalizado é
e a lagrangiana para o movimento no plano é