Uma partícula de massa m move-se sem atrito sob a ação da gravidade na superfície de um parabolóide, cuja equação é dada por
x^2+y^2=a z
onde a é uma constante.
i) Determine a lagrangiana do sistema utilizando coordenadas cilíndricas como coordenadas generalizadas. Mostre que as equações de movimento e o vínculo são dados, respectivamente por
m(ddotr-r dotvarphi^2)=2 lambda1 r, m dd t(r^2 dotvarphi), m ddotz=-m g-lambda1 a
e
2 r dotr-a dotz=0
Aqui, lambda1 é o multiplicador de Lagrange associado ao vínculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula de massa m que se move sem atrito sob a ação da gravidade em um parabolóide descrito pela equação x^2 + y^2 = a z. A gente vai usar coordenadas cilíndricas para resolver isso, e vamos precisar aplicar a Lagrangiana, que é uma ferramenta da mecânica clássica para descrever o movimento de sistemas. Além disso, vamos lidar com restrições usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cilíndricas: temos r, que é a distância radial; varphi, o ângulo azimutal; e z, a altura. No nosso caso, a equação do parabolóide relaciona essas coordenadas como r^2 = a z.

Passo 3

Agora, vamos escrever a energia cinética T da partícula. Em coordenadas cilíndricas, a energia cinética é dada por:
T = 12 m ( dotr^2 + r^2 dotvarphi^2 + dotz^2 )
Aqui, dotr, dotvarphi e dotz são as derivadas de r, varphi e z em relação ao tempo, representando as velocidades.

Passo 4

A energia potencial V da partícula devido à gravidade é:
V = m g z
Agora, a Lagrangiana L é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
L = T - V = 12 m ( dotr^2 + r^2 dotvarphi^2 + dotz^2 ) - m g z

Passo 5

Como há uma restrição no sistema ( r^2 = a z), vamos introduzir um multiplicador de Lagrange lambda1 para incorporar essa restrição na Lagrangiana. A Lagrangiana aumentada fica:
L = 12 m ( dotr^2 + r^2 dotvarphi^2 + dotz^2 ) - m g z + lambda1 (r^2 - a z)

Passo 6

Agora, aplicamos as equações de Lagrange para cada coordenada generalizada ( r, varphi, z). Isso envolve calcular as derivadas parciais da Lagrangiana e igualar às derivadas temporais das derivadas parciais em relação às velocidades.

Passo 7

Após calcular essas derivadas e simplificar, obtemos as equações de movimento:
m(ddotr - r dotvarphi^2) = 2 lambda1 r
m dd t(r^2 dotvarphi) = 0
m ddotz = -m g - lambda1 a
E a restrição original se transforma na equação de vínculo:
2 r dotr - a dotz = 0

Resposta

As equações de movimento e o vínculo são dados por:
m(ddotr - r dotvarphi^2) = 2 lambda1 r, m dd t(r^2 dotvarphi) = 0, m ddotz = -m g - lambda1 a
e
2 r dotr - a dotz = 0

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