Uma partícula de massa
move-se sem atrito sob a ação da gravidade na superfície de um parabolóide, cuja equação é dada por
onde
é uma constante.
i) Determine a lagrangiana do sistema utilizando coordenadas cilíndricas como coordenadas generalizadas. Mostre que as equações de movimento e o vínculo são dados, respectivamente por
e
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange associado ao vínculo.
i) Determine a lagrangiana do sistema utilizando coordenadas cilíndricas como coordenadas generalizadas. Mostre que as equações de movimento e o vínculo são dados, respectivamente por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula de massa
que se move sem atrito sob a ação da gravidade em um parabolóide descrito pela equação
. A gente vai usar coordenadas cilíndricas para resolver isso, e vamos precisar aplicar a Lagrangiana, que é uma ferramenta da mecânica clássica para descrever o movimento de sistemas. Além disso, vamos lidar com restrições usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cilíndricas: temos
, que é a distância radial;
, o ângulo azimutal; e
, a altura. No nosso caso, a equação do parabolóide relaciona essas coordenadas como
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a energia cinética
da partícula. Em coordenadas cilíndricas, a energia cinética é dada por:
Aqui,
,
e
são as derivadas de
,
e
em relação ao tempo, representando as velocidades.
Passo 4
A energia potencial
da partícula devido à gravidade é:
Agora, a Lagrangiana
é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 5
Como há uma restrição no sistema (
), vamos introduzir um multiplicador de Lagrange
para incorporar essa restrição na Lagrangiana. A Lagrangiana aumentada fica:
Passo 6
Agora, aplicamos as equações de Lagrange para cada coordenada generalizada (
,
,
). Isso envolve calcular as derivadas parciais da Lagrangiana e igualar às derivadas temporais das derivadas parciais em relação às velocidades.
Passo 7
Após calcular essas derivadas e simplificar, obtemos as equações de movimento:
E a restrição original se transforma na equação de vínculo:
Resposta
As equações de movimento e o vínculo são dados por:
e