O saco de treinamento tem 20 kg e raio de giração k=0,4 m, em relação ao centro de massa G . Se ele esta inicialmente em repouso e é submetido a uma força horizontal F=30 N, determine a aceleração angular inicial do saco e a tensão no cabo AB .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos um saco de treinamento com massa de 20 kg e raio de giração em relação ao centro de massa G. O saco está inicialmente em repouso e é submetido a uma força horizontal de . Precisamos determinar a aceleração angular inicial do saco e a tensão no cabo AB.
Matéria envolvida: Dinâmica Rotacional.
O que vamos precisar:
  • Entender o conceito de raio de giração.
  • Aplicar a segunda lei de Newton para a rotação.
  • Relacionar a força aplicada com o torque e a aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de giração I = m cdot k^2 está relacionado ao momento de inércia pela fórmula:
onde é a massa do objeto.

Passo 3

Calculando o momento de inércia:
I = 20 , kg cdot (0,4 , m)^2 = 20 cdot 0,16 = 3,2 , kg cdot m^2

Passo 4

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para rotação, que relaciona o torque ( tau = I cdot alpha ) com o momento de inércia e a aceleração angular ( tau = F cdot r ):
tau = F cdot k = 30 , N cdot 0,4 , m = 12 , N cdot m
O torque gerado pela força é dado por:
onde é a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação. Supondo que a força é aplicada no ponto A, que está a uma distância igual ao raio de giração :

Passo 5

Substituindo na fórmula da segunda lei:
12 = 3,2 cdot alpha implies alpha = 123,2 = 3,75 , rad/s^2

Passo 6

Para encontrar a tensão no cabo AB, vamos considerar as forças atuantes no sistema. A força a = alpha cdot k causa uma aceleração linear no centro de massa. A relação entre aceleração linear ( a = 3,75 , rad/s^2 cdot 0,4 , m = 1,5 , m/s^2 ) e aceleração angular ( F - T = m cdot a ) é:
30 - T = 20 cdot 1,5 implies 30 - T = 30 implies T = 0 , N
Calculando :
Agora, aplicando a segunda lei de Newton para a tradução linear:
onde é a tensão no cabo AB.
Substituindo os valores:
Isso indica que toda a força está sendo usada para causar a rotação, sem necessidade de tensão no cabo.

Resposta

A aceleração angular inicial do saco é e a tensão no cabo AB é .

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