Uma partícula se move no plano com velocidade radial constante
. A velocidade angular é constante com magnitude
. Quando a partícula está a 3 m da origem, encontre a magnitude de sua velocidade e aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano com uma velocidade radial constante de $ \frac{dr}{dt} = 4 , m/s $ e uma velocidade angular constante de $ \frac{d\theta}{dt} = 2 , rad/s $. Quando a partícula está a 3 metros da origem, queremos descobrir duas coisas: a magnitude da velocidade total dela e a magnitude da aceleração.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares. Precisamos entender como calcular a velocidade e a aceleração em movimento polar e depois aplicar essas fórmulas com os valores fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. Em coordenadas polares, a velocidade total $ \vec{v} $ é composta por duas partes:
- Velocidade radial ($ \frac{dr}{dt} $): é a taxa de variação do raio.
- Velocidade tangencial ($ r \frac{d\theta}{dt} $): é a velocidade devido à mudança no ângulo.
Então, a velocidade total pode ser expressa como:
onde $ \hat{e}r $ e $ \hat{e}\theta $ são os vetores unitários nas direções radial e tangencial, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a magnitude da velocidade, usamos o teorema de Pitágoras, já que as componentes radial e tangencial são perpendiculares entre si:
Substituindo os valores fornecidos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. Em movimento polar, a aceleração total $ \vec{a} $ também tem duas componentes:
- Aceleração radial ($ \frac{d2r}{dt2} - r \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 $): envolve a segunda derivada do raio e um termo devido à velocidade angular.
- Aceleração tangencial ($ r \frac{d2\theta}{dt2} + 2 \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} $): envolve a segunda derivada do ângulo e um termo que mistura as taxas de variação radial e angular.
No nosso caso, como ambas as taxas ($ \frac{dr}{dt} $ e $ \frac{d\theta}{dt} $) são constantes, as segundas derivadas são zero:
Assim, a aceleração simplifica para:
Passo 5
Vamos calcular a magnitude da aceleração usando novamente o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Então:
Resposta
A magnitude da velocidade da partícula é $ 2\sqrt{13} , m/s $ (aproximadamente 7,21 m/s) e a magnitude da aceleração é $ 20 , m/s^2 $.