Uma partícula se move no plano com velocidade radial constante d rd t=4 m / s. A velocidade angular é constante com magnitude d thetad t=2 rad / s. Quando a partícula está a 3 m da origem, encontre a magnitude de sua velocidade e aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano com uma velocidade radial constante de $ \frac{dr}{dt} = 4 , m/s $ e uma velocidade angular constante de $ \frac{d\theta}{dt} = 2 , rad/s $. Quando a partícula está a 3 metros da origem, queremos descobrir duas coisas: a magnitude da velocidade total dela e a magnitude da aceleração.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares. Precisamos entender como calcular a velocidade e a aceleração em movimento polar e depois aplicar essas fórmulas com os valores fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. Em coordenadas polares, a velocidade total $ \vec{v} $ é composta por duas partes:
  1. Velocidade radial ($ \frac{dr}{dt} $): é a taxa de variação do raio.
  2. Velocidade tangencial ($ r \frac{d\theta}{dt} $): é a velocidade devido à mudança no ângulo.
Então, a velocidade total pode ser expressa como:
v
onde $ \hat{e}r $ e $ \hat{e}\theta $ são os vetores unitários nas direções radial e tangencial, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a magnitude da velocidade, usamos o teorema de Pitágoras, já que as componentes radial e tangencial são perpendiculares entre si:
|v| = raiz( drdt )^2 + ( r dthetadt )^2
Substituindo os valores fornecidos:
|v| = raiz4^2 + (3 times 2)^2 = raiz16 + 36 = raiz52
Simplificando:
|v| = 2raiz13 , m/s approx 7,21 , m/s

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. Em movimento polar, a aceleração total $ \vec{a} $ também tem duas componentes:
  1. Aceleração radial ($ \frac{d2r}{dt2} - r \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 $): envolve a segunda derivada do raio e um termo devido à velocidade angular.
  2. Aceleração tangencial ($ r \frac{d2\theta}{dt2} + 2 \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} $): envolve a segunda derivada do ângulo e um termo que mistura as taxas de variação radial e angular.
No nosso caso, como ambas as taxas ($ \frac{dr}{dt} $ e $ \frac{d\theta}{dt} $) são constantes, as segundas derivadas são zero:
a
Assim, a aceleração simplifica para:
d^2rdt^2 - r ( dthetadt )^2

Passo 5

Vamos calcular a magnitude da aceleração usando novamente o teorema de Pitágoras:
|a| = raiz( -r ( dthetadt )^2 )^2 + ( 2 drdt dthetadt )^2
Substituindo os valores:
|a| = raiz ( -3 times 2^2 )^2 + ( 2 times 4 times 2 )^2 = raiz (-12)^2 + (16)^2 = raiz144 + 256 = raiz400
Então:
|a| = 20 , m/s^2

Resposta

A magnitude da velocidade da partícula é $ 2\sqrt{13} , m/s $ (aproximadamente 7,21 m/s) e a magnitude da aceleração é $ 20 , m/s^2 $.

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