(10 pontos) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio
e velocidade angular
. As funções posição
e
desta partícula se escrevem:
Para
, faça um esboço da posição da partícula em relação ao sistema de coordenadas (considere
na horizontal e
na vertical). Indique em seu esboço o ângulo
e o raio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre movimento circular uniforme, onde uma partícula se move num círculo com raio $ R $ e velocidade angular $ \omega $. As funções posição $ x(t) $ e $ y(t) $ descrevem onde a partícula está no tempo $ t $. O que precisamos fazer é desenhar a posição da partícula no tempo $ t = 0 $ no sistema de coordenadas, mostrando o ângulo $ \theta_{0} $ e o raio $ R $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções posição dadas:
Aqui, $ R $ é o raio do círculo, $ \omega $ é a velocidade angular, e $ \theta_{0} $ é o ângulo inicial da partícula.
Passo 3
Para $ t = 0 $, a gente substitui na equação:
Então, a posição da partícula no tempo zero é $ (R \cos(\theta_{0}), R \sin(\theta_{0})) $.
Passo 4
Agora, vamos pensar no esboço. Imagine um sistema de coordenadas com o eixo $ x $ na horizontal e o eixo $ y $ na vertical. Desenhamos um círculo com raio $ R $ centrado na origem.
Passo 5
No tempo $ t = 0 $, a partícula está no ponto $ (R \cos(\theta_{0}), R \sin(\theta_{0})) $. Isso significa que ela está em uma posição que forma um ângulo $ \theta_{0} $ com o eixo $ x $.
Passo 6
No esboço, você vai:
- Desenhar o círculo de raio $ R $.
- Marcar a origem do sistema de coordenadas.
- A partir da origem, desenhar uma linha que forma o ângulo $ \theta_{0} $ com o eixo $ x $.
- No final dessa linha, colocar um ponto representando a posição da partícula.
- Indicar o raio $ R $ e o ângulo $ \theta_{0} $ no desenho.
Resposta
No esboço, desenhe um círculo com raio $ R $ no sistema de coordenadas. A partícula no tempo $ t = 0 $ está localizada no ponto que forma o ângulo $ \theta_{0} $ com o eixo $ x $. Marque o ponto no círculo correspondente a $ (R \cos(\theta_{0}), R \sin(\theta_{0})) $, e indique claramente o raio $ R $ e o ângulo $ \theta_{0} $ no desenho.