(10 pontos) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular omega. As funções posição x(t) e y(t) desta partícula se escrevem:
l x(t)=R cos (omega t+theta0) y(t)=R sin (omega t+theta0)
Para t=0, faça um esboço da posição da partícula em relação ao sistema de coordenadas (considere x na horizontal e y na vertical). Indique em seu esboço o ângulo theta0 e o raio R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre movimento circular uniforme, onde uma partícula se move num círculo com raio $ R $ e velocidade angular $ \omega $. As funções posição $ x(t) $ e $ y(t) $ descrevem onde a partícula está no tempo $ t $. O que precisamos fazer é desenhar a posição da partícula no tempo $ t = 0 $ no sistema de coordenadas, mostrando o ângulo $ \theta_{0} $ e o raio $ R $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções posição dadas:
x(t) = R cos(omega t + theta0) y(t) = R sin(omega t + theta0)
Aqui, $ R $ é o raio do círculo, $ \omega $ é a velocidade angular, e $ \theta_{0} $ é o ângulo inicial da partícula.

Passo 3

Para $ t = 0 $, a gente substitui na equação:
t = 0
Então, a posição da partícula no tempo zero é $ (R \cos(\theta_{0}), R \sin(\theta_{0})) $.

Passo 4

Agora, vamos pensar no esboço. Imagine um sistema de coordenadas com o eixo $ x $ na horizontal e o eixo $ y $ na vertical. Desenhamos um círculo com raio $ R $ centrado na origem.

Passo 5

No tempo $ t = 0 $, a partícula está no ponto $ (R \cos(\theta_{0}), R \sin(\theta_{0})) $. Isso significa que ela está em uma posição que forma um ângulo $ \theta_{0} $ com o eixo $ x $.

Passo 6

No esboço, você vai:
  1. Desenhar o círculo de raio $ R $.
  2. Marcar a origem do sistema de coordenadas.
  3. A partir da origem, desenhar uma linha que forma o ângulo $ \theta_{0} $ com o eixo $ x $.
  4. No final dessa linha, colocar um ponto representando a posição da partícula.
  5. Indicar o raio $ R $ e o ângulo $ \theta_{0} $ no desenho.

Resposta

No esboço, desenhe um círculo com raio $ R $ no sistema de coordenadas. A partícula no tempo $ t = 0 $ está localizada no ponto que forma o ângulo $ \theta_{0} $ com o eixo $ x $. Marque o ponto no círculo correspondente a $ (R \cos(\theta_{0}), R \sin(\theta_{0})) $, e indique claramente o raio $ R $ e o ângulo $ \theta_{0} $ no desenho.

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