Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados:
a) S(t)=2t²+10t-1. Determine a velocidade no instante t = 3 s.
b) S(t)=t²+3t. Determine a velocidade no instante t=2 s.
c) S(t)=t³+t²+2t+1. Determine a velocidade no instante t+1 s e aceleração t= 2s.
a) S(t)=2t²+10t-1. Determine a velocidade no instante t = 3 s.
b) S(t)=t²+3t. Determine a velocidade no instante t=2 s.
c) S(t)=t³+t²+2t+1. Determine a velocidade no instante t+1 s e aceleração t= 2s.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória, onde a posição dela é dada por funções em termos do tempo $ t $ (em segundos). O que precisamos fazer aqui é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em instantes específicos. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Letra a)
A função da posição é $ S(t) = 2t^2 + 10t - 1 $. Queremos encontrar a velocidade no instante $ t = 3 $ segundos.
A função da posição é $ S(t) = 2t^2 + 10t - 1 $. Queremos encontrar a velocidade no instante $ t = 3 $ segundos.
Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade, que é a derivada de $ S(t) $ em relação ao tempo $ t $.
A derivada de $ S(t) $ é:
Agora, substituímos $ t = 3 $ na função da velocidade:
Passo 3
Letra b)
A função da posição é $ S(t) = t^2 + 3t $. Queremos encontrar a velocidade no instante $ t = 2 $ segundos.
A função da posição é $ S(t) = t^2 + 3t $. Queremos encontrar a velocidade no instante $ t = 2 $ segundos.
Vamos primeiro derivar $ S(t) $ para encontrar $ V(t) $:
Agora, substituímos $ t = 2 $ na função da velocidade:
Passo 4
Letra c)
A função da posição é $ S(t) = t^3 + t^2 + 2t + 1 $. Precisamos determinar a velocidade no instante $ t + 1 $ segundos e a aceleração no instante $ t = 2 $ segundos.
A função da posição é $ S(t) = t^3 + t^2 + 2t + 1 $. Precisamos determinar a velocidade no instante $ t + 1 $ segundos e a aceleração no instante $ t = 2 $ segundos.
Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade $ V(t) $ derivando $ S(t) $:
Agora, queremos a velocidade no instante $ t + 1 $:
Vamos expandir:
Então, a velocidade no instante $ t + 1 $ é $ V(t + 1) = 3t^2 + 8t + 7 $ m/s.
Agora, vamos encontrar a aceleração no instante $ t = 2 $ segundos. A aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade:
Substituindo $ t = 2 $:
Resposta
a) A velocidade no instante $ t = 3 $ s é 22 m/s.
b) A velocidade no instante $ t = 2 $ s é 7 m/s.
c) A velocidade no instante $ t + 1 $ s é $ V(t + 1) = 3t^2 + 8t + 7 $ m/s e a aceleração no instante $ t = 2 $ s é 20 m/s².
b) A velocidade no instante $ t = 2 $ s é 7 m/s.
c) A velocidade no instante $ t + 1 $ s é $ V(t + 1) = 3t^2 + 8t + 7 $ m/s e a aceleração no instante $ t = 2 $ s é 20 m/s².