Uma partícula se move por uma trajetória reta com uma velocidade inicial 5,71 m / s quando passa a estar sujeita a uma desaceleração dada por a=-k v^1 / 2 onde k=3,20 m^1 / 2 / s^3 / 2, v é dado em m / s e a em m / s^2. Sugestão: use a relação a d x=v d v nos seus cálculos.
(a) Calcule a distância percorrida pela partícula até parar.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a partícula tem velocidade inicial ,v0=5,71m/s e sofre desaceleração
a=-k,v^1/2,
com k=3,20m^1/2/s^3/2. Queremos a distância percorrida até v=0. Para isso, usaremos cálculo diferencial e a sugestão
a,dx = v,dv

Passo 2

Como a=dv/dt e dx/dt=v, temos
a,dx = dvdt,dx = v,dv

Passo 3

Substituindo a=-k,v^1/2 em v,dv = a,dx, obtemos
v,dv = -k,v^1/2,dx Longrightarrow dx = -v,dvk,v^1/2 = -1k,v^1/2,dv
Integramos de v=v0 até v=0 e de x=0 até x=s:
s=integral0^sdx = -1kintegralv0^0v^1/2dv

Passo 4

Trocando os limites para ficar positivo,
s = 1kintegral0^v0v^1/2dv = 1k,l[tfrac23v^3/2r]0^v0 = 23k,v0^3/2

Passo 5

Substituindo v0=5,71 e k=3,20:
v0^3/2=(5,71)^3/2approx13,65, s=23cdot3,20times13,65approx2,84

Resposta

A distância percorrida até parar é aproximadamente ,2,84m.

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