1. Uma partícula movimenta-se em linha recta pela lei horária do movimento dada pela equação S=-20+5 t+3 t^{2}, no SI. Determine: (a) O instante em que a partícula passa pela origem das posições; (b) A velocidade da partícula no instante t_{2}=7 \mathrm{~s} . R : (a) 1,88 s; (b) 47 \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo pela lei horária
S(t) = -20 + 5t + 3t^{2}
e pede: (a) o instante em que ela passa por S=0; (b) a velocidade em t_{2}=7,s. O conteúdo envolvido é cinemática retilínea: usamos a resolução de equação quadrática para encontrar t e a derivada de S(t) para achar a velocidade.

Passo 2

Para achar o instante em que S=0, substituímos na equação e resolvemos
-20 + 5t + 3t^{2} = 0
ou seja
3t^{2} + 5t - 20 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^{2} - 4\cdot3\cdot(-20)}}{2\cdot3} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 240}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{265}}{6}.

Passo 3

As duas soluções são
t_{1} = \frac{-5 + \sqrt{265}}{6}\approx1{,}88\\ \mathrm{s}, \quad t_{2} = \frac{-5 - \sqrt{265}}{6}\approx-3{,}55\\ \mathrm{s}.
Como o instante negativo não faz sentido físico aqui, ficamos com
t = 1{,}88\\ \mathrm{s}.

Passo 4

A velocidade é a derivada de S(t):
v(t) = \frac{dS}{dt} = 5 + 6t.
No instante t_{2}=7,s,
v(7) = 5 + 6\cdot7 = 5 + 42 = 47\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 1{,}88\\ \mathrm{s}
(b) 47\\ \mathrm{m/s}

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