Uma partícula movimenta-se no plano XY e sua aceleração varia com o tempo, segundo a função:
Pode-se determinar que:
a) A equação do vetor velocidade;
a) A equação do vetor velocidade;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move no plano XY com uma aceleração que depende do tempo. A gente precisa encontrar a equação do vetor velocidade dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especialmente a relação entre aceleração e velocidade. Basicamente, vamos integrar a aceleração para achar a velocidade, considerando as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a aceleração da partícula. O vetor aceleração é dado por:
Isso significa que a componente na direção $ \vec{\imath} $ (eixo X) é $ -2t $ e na direção $ \vec{\jmath} $ (eixo Y) é $ -8t $.
Passo 3
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A relação geral é:
Onde $ \vec{v}_0 $ é a velocidade inicial.
Passo 4
Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente.
Para a componente $ \vec{\imath} $:
Para a componente $ \vec{\jmath} $:
Aqui, $ C_x $ e $ C_y $ são constantes de integração que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
As condições iniciais nos dizem que, em $ t = 0 $:
Então, substituindo $ t = 0 $ nas equações integradas:
Para $ \vec{\imath} $:
Para $ \vec{\jmath} $:
Passo 6
Agora que temos as constantes, podemos montar a equação da velocidade:
Para $ \vec{\imath} $:
Para $ \vec{\jmath} $:
Resposta
A equação do vetor velocidade da partícula é: