O vetor aceleração total de um corpo que se move no eixo Oy é dada por a=8 j (SI). Se no instante inicial to =0 s a posição inicial é r0(t)=i (SI), e a velocidade inicial é vo(t)=2 i (SI), d mine:
c) A equação da trajetória y=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um corpo no eixo Oy (o eixo vertical) e nos dá algumas informações iniciais. O conteúdo principal aqui é cinemática, que estuda como os objetos se movem. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como posição, velocidade e aceleração, além de saber como relacionar essas grandezas no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada dado nos diz:
  • Vetor aceleração total: a = 8,j (em unidades do SI). Isso significa que a aceleração está apenas na direção y (vertical) e tem um valor constante de 8 m/s².
  • Posição inicial: r0(t) = i. Isso quer dizer que, no instante inicial (quando t = 0), a posição do corpo está no ponto (1, 0) no plano XY.
  • Velocidade inicial: vo(t) = 2,i. Isso indica que, no início, o corpo está se movendo apenas na direção x (horizontal) com uma velocidade de 2 m/s.

Passo 3

Vamos escrever as equações de movimento para as direções x e y separadamente.
Para a direção x (horizontal), como não há aceleração nessa direção:
x(t) = x0 + v0x cdot t
Onde:
  • x0 = 1 (posição inicial em x)
  • v0x = 2 m/s (velocidade inicial em x)
Então:
x(t) = 1 + 2t

Passo 4

Agora, para a direção y (vertical), onde temos aceleração constante:
y(t) = y0 + v0y cdot t + 12 ay t^2
Onde:
  • y0 = 0 (posição inicial em y)
  • v0y = 0 m/s (não há velocidade inicial em y)
  • ay = 8 m/s² (aceleração em y)
Então:
y(t) = 0 + 0 cdot t + 12 cdot 8 cdot t^2 = 4t^2

Passo 5

O objetivo é encontrar a equação da trajetória y = f(x). Para isso, precisamos eliminar o parâmetro t das duas equações que encontramos.
Da equação de x(t):
x = 1 + 2t Rightarrow t = x - 12

Passo 6

Substituímos o valor de t na equação de y(t):
y = 4t^2 = 4(x - 12)^2 = 4 cdot (x - 1)^24 = (x - 1)^2

Resposta

A equação da trajetória é:
y = (x - 1)^2

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