Uma partícula não relativística de massa m é mantida em uma órbita circular em torno da origem por uma força atrativa f(r)=-k r, onde k é uma constante positiva.
(a) Mostre que a energia potencial pode ser escrita como:
U(r)=k r^2 / 2
Assumindo U(r)=0 quando r=0.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos uma partícula de massa f(r) = -k,r que sofre uma força atrativa do tipo
f(r) = -dUdr
(com ). A gente precisa achar a energia potencial , sabendo que .
Isso é típico de mecânica clássica, mais precisamente de forças conservativas e energia potencial. Para resolver, vamos usar a relação entre força e energia potencial:
.

Passo 2

Primeiro, lembre que para uma força central conservativa (que só depende de f(r) = -dUdr), vale:
-k,r ;=; -dUdr Longrightarrow dUdr = k,r
Aqui temos . Então:
Isso diz que a derivada da energia potencial em relação a é .

Passo 3

Agora a gente integra essa expressão pra achar U(r) - U(0) ;=; integral0^r dUdr',dr' ;=;integral0^r k,r',dr', . A integração é simples:
integral0^r k,r',dr' = k ,r'^22|0^r = k,r^22 - 0
onde usei U(r) = k,r^22 como variável de integração. Calculando:
E como , então

Resposta

boxedU(r) = k,r^22

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