Uma partícula não relativística de massa m é mantida em uma órbita circular em torno da origem por uma força atrativa , onde é uma constante positiva.
(a) Mostre que a energia potencial pode ser escrita como:
Assumindo quando .
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos uma partícula de massa que sofre uma força atrativa do tipo
(com ). A gente precisa achar a energia potencial , sabendo que .
Isso é típico de mecânica clássica, mais precisamente de forças conservativas e energia potencial. Para resolver, vamos usar a relação entre força e energia potencial:
.
Passo 2
Primeiro, lembre que para uma força central conservativa (que só depende de ), vale:
Aqui temos . Então:
Isso diz que a derivada da energia potencial em relação a é .
Passo 3
Agora a gente integra essa expressão pra achar . A integração é simples:
onde usei como variável de integração. Calculando: