Uma partícula não relativística de massa m é mantida em uma órbita circular em torno da origem por uma força atrativa f(r)=-k r, onde k é uma constante positiva.
© Portanto, mostre que a energia total da partícula é:
En=n hbar(km)^1 / 2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma partícula de massa f(r)=-k,r,, presa numa órbita circular graças a uma força do tipo mola, ou seja
En = n,hbar,raiztfrackm,
com . A parte © pede para mostrar que, usando quantização de momento angular (estilo “Bohr”), a energia total vem
Conteúdo que vamos usar: força centrípeta, energia cinética e potencial, quantização de Bohr ( ) e um pouquinho de álgebra de física clássica.

Passo 2

Primeiro, na órbita circular a força de “mola” faz o papel de força centrípeta. Ou seja,
força centrípeta = m,v^2r ;=; k,r Longrightarrow v^2 = k,r^2m, tem que ser igual em módulo a .
Então escrevemos:
Aqui a gente usou a definição de força centrípeta (essa é a parte de teoria de dinâmica de movimento circular).

Passo 3

Agora a gente quer envolver o momento angular L = m,v,r Longrightarrow v = Lm,r, . Lembra que
l(Lm,rr)^2 ;=;k,r^2m Longrightarrow L^2m^2,r^2 = k,r^2m Longrightarrow L^2 = m,k,r^4
Substituindo esse r^2 = raizL^2m,k Longrightarrow r = l(tfracL^2m,kr)^1/4 na equação do Passo 2:
Desse jeito, a gente acha

Passo 4

A energia total é soma de cinética mais potencial elástica:
E = T + V = tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac12,k,r^2
Ainda do Passo 2, tínhamos T = tfrac12,m,k,r^2m = tfrac12,k,r^2 , então
E = tfrac12,k,r^2 + tfrac12,k,r^2 = k,r^2
Logo
E = k,raizL^2m,k = raizk;Lraizm = L,raizkm
Substituindo :

Passo 5

Por fim, aplicamos a regra de Bohr para quantizar o momento angular:
L = n,hbar, n=1,2,3,dots
Isso dá imediatamente
En = (n,hbar),raiztfrackm = n,hbar,raiztfrackm

Resposta

boxedEn = n,hbar,raizkm,

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