Uma partícula não relativística de massa m é mantida em uma órbita circular em torno da origem por uma força atrativa
, onde
é uma constante positiva.
© Portanto, mostre que a energia total da partícula é:
© Portanto, mostre que a energia total da partícula é:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma partícula de massa
presa numa órbita circular graças a uma força do tipo mola, ou seja
com
. A parte © pede para mostrar que, usando quantização de momento angular (estilo “Bohr”), a energia total vem
Conteúdo que vamos usar: força centrípeta, energia cinética e potencial, quantização de Bohr (
) e um pouquinho de álgebra de física clássica.
Passo 2
Primeiro, na órbita circular a força de “mola” faz o papel de força centrípeta. Ou seja,
força centrípeta = tem que ser igual em módulo a
.
Então escrevemos:
força centrípeta =
Então escrevemos:
Aqui a gente usou a definição de força centrípeta (essa é a parte de teoria de dinâmica de movimento circular).
Passo 3
Agora a gente quer envolver o momento angular
. Lembra que
Substituindo esse
na equação do Passo 2:
Desse jeito, a gente acha
Passo 4
A energia total é soma de cinética mais potencial elástica:
Ainda do Passo 2, tínhamos
, então
Logo
Substituindo
:
Passo 5
Por fim, aplicamos a regra de Bohr para quantizar o momento angular:
Isso dá imediatamente