Uma partícula não relativística de massa m é mantida em uma órbita circular em torno da origem por uma força atrativa f(r)=-k r, onde k é uma constante positiva.
(b) Assumindo a quantização de Bohr do momento angular da partícula, mostrar que o raio r da órbita e a velocidade v da partícula podem ser escritos como:
v^2=(n hbarm)(km)^1 / 2
r^2=(n hbark)(km)^1 / 2
onde n é um número inteiro.

Passo 1

Resumo do problema: temos uma partícula de massa m fazendo órbita circular sob a força central f(r)=-kr. A matéria envolvida é mecânica clássica (força centrípeta) e a regra de quantização de Bohr para momento angular. Vamos usar a condição de equilíbrio de forças e a quantização L=mvr=nhbar para achar r e v.

Passo 2

Condição de equilíbrio (força centrípeta = força atrativa):
m,v^2r=k,r,

Passo 3

Regra de Bohr para o momento angular:
L=m,v,r=n,hbarLongrightarrow v=n,hbarm,r,

Passo 4

Substituindo v em m,v^2r=k,r:
mrl(nhbarm,rr)^2=k,r ;Longrightarrow;n^2hbar^2m,r^3=k,r ;Longrightarrow;n^2hbar^2=k,m,r^4 ;Longrightarrow;r^4=n^2hbar^2k,m,
Tirando raiz quadrada em ambos os lados:
$$r^{2}=\frac{n,\hbar}{\sqrt{k,m}}
=\Bigl(\frac{n,\hbar}{k}\Bigr)\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)^{1/2},. r^2=n,hbarraizk,m =l(n,hbarkr)l(kmr)^1/2, v{2}=\frac{k}{m};r{2}
=\frac{k}{m};\Bigl(\frac{n,\hbar}{k}\Bigr)\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)^{1/2}
=\Bigl(\frac{n,\hbar}{m}\Bigr)\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)^{1/2},. $$

Resposta

v^2=l(n,hbarmr)l(kmr)^1/2 , r^2=l(n,hbarkr)l(kmr)^1/2,

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