Uma partícula não relativística de massa m é mantida em uma órbita circular em torno da origem por uma força atrativa
, onde
é uma constante positiva.
(b) Assumindo a quantização de Bohr do momento angular da partícula, mostrar que
raio
da órbita e a velocidade
da partícula podem ser escritos como:
onde n é um número inteiro.
(b) Assumindo a quantização de Bohr do momento angular da partícula, mostrar que
onde n é um número inteiro.
Passo 1
Resumo do problema: temos uma partícula de massa
fazendo órbita circular sob a força central
. A matéria envolvida é mecânica clássica (força centrípeta) e a regra de quantização de Bohr para momento angular. Vamos usar a condição de equilíbrio de forças e a quantização
para achar
e
.
Passo 2
Condição de equilíbrio (força centrípeta = força atrativa):
Passo 3
Regra de Bohr para o momento angular:
Passo 4
Substituindo
em
:
Tirando raiz quadrada em ambos os lados:
$$r^{2}=\frac{n,\hbar}{\sqrt{k,m}}
=\Bigl(\frac{n,\hbar}{k}\Bigr)\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)^{1/2},.
v{2}=\frac{k}{m};r{2}
=\frac{k}{m};\Bigl(\frac{n,\hbar}{k}\Bigr)\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)^{1/2}
=\Bigl(\frac{n,\hbar}{m}\Bigr)\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)^{1/2},. $$