Uma partícula parte da origem em t=0 com uma velocidade de 4,0 \boldsymbol{j} e se move no plano x y, com aceleração constante igual a 4,0 \boldsymbol{i}-1,0 \boldsymbol{j} (Unidades do S.I.). Quando a coordenada x da partícula for igual a 12 m , determine:
o módulo da velocidade.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (todos em unidades do SI):
  • Posição inicial: \vec r(0) = \vec 0 (origem).
  • Velocidade inicial: \vec v(0)=\vec v_0 = 4{,}0\,\boldsymbol{j}. Ou seja, v_{0x}=0 e v_{0y}=4{,}0 (m/s).
  • Aceleração constante: \vec a = 4{,}0\,\boldsymbol{i}-1{,}0\,\boldsymbol{j}. Ou seja, a_x=4{,}0 (m/s ^2) e a_y=-1{,}0 (m/s ^2).
  • Pede-se: quando a coordenada x da partícula for igual a 12 m, determinar o módulo da velocidade |\vec v|.

Passo 2

Equação da coordenada x(t) para movimento com aceleração constante:
x(t)=x_0+v_{0x}t+\tfrac{1}{2}a_x t^2.
Aqui x_0=0, v_{0x}=0 e a_x=4{,}0. Substituindo:
x(t)=0+0\cdot t+\tfrac{1}{2}\cdot4{,}0\cdot t^2=2{,}0\,t^2.
Queremos x(t)=12. Portanto:
2{,}0\,t^2=12\quad\Rightarrow\quad t^2=6\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{6}.
Escolhemos a raiz positiva porque t\ge0.

Passo 3

Equação da velocidade em função do tempo para aceleração constante:
\vec v(t)=\vec v_0+\vec a\,t.
Escrevendo em componentes:
v_x(t)=v_{0x}+a_x t=0+4{,}0\,t=4{,}0\,t,
v_y(t)=v_{0y}+a_y t=4{,}0+(-1{,}0)\,t=4{,}0-t.
Agora substituímos t=\sqrt{6}:
v_x=4{,}0\sqrt{6},\qquad v_y=4{,}0-\sqrt{6}.

Passo 4

Módulo da velocidade:
|\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Substituindo os componentes obtidos:
|\vec v|=\sqrt{(4{,}0\sqrt{6})^2+(4{,}0-\sqrt{6})^2}.
Calculemos passo a passo:
(4{,}0\sqrt{6})^2=16\cdot6=96,
(4{,}0-\sqrt{6})^2=16-8\sqrt{6}+6=22-8\sqrt{6}.
Somando:
v^2=96+(22-8\sqrt{6})=118-8\sqrt{6}.
Logo
|\vec v|=\sqrt{118-8\sqrt{6}}.
Agora avaliação numérica: \sqrt{6}\approx2{,}4494897, então
118-8\sqrt{6}\approx118-19{,}5959=98{,}4041,
|\vec v|\approx\sqrt{98{,}4041}\approx9{,}92\\ \text{m/s}.

Passo 5

Resumo rápido e checagem mental: x cresceu devido à componente de aceleração em x, encontrámos o instante t=\sqrt{6} s, calculámos a velocidade nesse instante por \vec v=\vec v_0+\vec a t e, finalmente, o módulo pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. O valor numérico final está compatível com as componentes calculadas (uma componente v_x relativamente grande e v_y moderada).

Resposta

9{,}92\\ \mathrm{m/s}

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