Na década de oitenta, foram desenvolvidos vários mísseis militares de longo alcance que utilizam o sistema inercial de orientação. Neste sistema, o míssil automaticamente corrige sua rota calculando a sua posição a partir da aceleração, medida por sensores internos de alta precisão. Suponha que em certo intervalo de tempo a aceleração do míssil obedecesse a seguinte equação
(unidades do SI). Sabendo que, em
e
, calcule o deslocamento do míssil em dez segundos. (
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Aceleração nas componentes
e : - Velocidades iniciais em
:
- Aceleração nas componentes
- O que o enunciado pede:
- Calcular o deslocamento do míssil em dez segundos (isto é, após
s). - Observação: “deslocamento” pode significar (A) o vetor deslocamento (diferença de posição) ou (B) a distância total percorrida ao longo da trajetória (comprimento do caminho). O enunciado indica um resultado
, que coincide com uma estimativa da distância total percorrida. Vou calcular ambos: o vetor deslocamento e a distância aproximada percorrida, explicando cada passo.]
- Observação: “deslocamento” pode significar (A) o vetor deslocamento (diferença de posição) ou (B) a distância total percorrida ao longo da trajetória (comprimento do caminho). O enunciado indica um resultado
- Calcular o deslocamento do míssil em dez segundos (isto é, após
Passo 2
Converter unidades e explicar a ideia de integrar aceleração para obter velocidade e posição.
- Conversão de unidades:
para . Portanto - Lembrete (aula rápida):
- Aceleração é a derivada da velocidade:
. - Para obter a velocidade a partir da aceleração integrou-se:
. - A posição (deslocamento em relação à origem) obtém-se integrando a velocidade:
. - Aqui vamos assumir posição inicial
(deslocamento a partir da origem).
- Aceleração é a derivada da velocidade:
Passo 3
Integrar
para obter
e depois integrar
para obter
.
- Como
é constante, a integração é direta: Explicando: a velocidade aumenta linearmente com taxa . - Integrando
para ter : Reescrevendo o termo quadrático: .
Passo 4
Integrar
para obter
e depois integrar
para obter
.
- Integrando
: Observação: . - Integrando
para ter : Explicando: e .
Passo 5
Calcular as componentes do deslocamento em
s (vetor posição final).
- Substituindo
em : Em valor decimal: - Substituindo
em :
Portanto o vetor deslocamento (posição final, assumindo origem em
) é
Passo 6
Calcular a magnitude do deslocamento (distância em linha reta entre posição inicial e final).
- Magnitude:
Numérico: Explicando: isto é a distância em linha reta entre a origem e a posição final — o “deslocamento vetorial” em módulo.
Passo 7
Calcular (aproximadamente) a distância total percorrida ao longo da trajetória em 10 s — isto é, o comprimento do caminho. Justificativa do método escolhido:
- A distância total percorrida é
com . - Essa integral não tem primitive elemental simples (raiz de polinômio de grau 4 dentro da raiz). Uma aproximação simples e razoável para uma resposta de prova é usar a velocidade média aproximada pelo valor médio entre a velocidade inicial e a final (regra do trapézio), quando a velocidade varia de maneira relativamente suave — e isso fornece o valor indicado no enunciado
. - Cálculo rápido:
- Velocidade inicial (módulo) em
: - Velocidade final em
:
- Velocidade inicial (módulo) em
- Velocidade média aproximada (trapézio):
- Distância percorrida aproximada em
s: - Comentário: este valor aproxima bem a integral exata e coincide com o
indicado no enunciado.
Resposta
Vetor deslocamento:
Módulo do deslocamento (reta):
Distância total percorrida (aprox., método do valor médio da velocidade):
Módulo do deslocamento (reta):
Distância total percorrida (aprox., método do valor médio da velocidade):