Na década de oitenta, foram desenvolvidos vários mísseis militares de longo alcance que utilizam o sistema inercial de orientação. Neste sistema, o míssil automaticamente corrige sua rota calculando a sua posição a partir da aceleração, medida por sensores internos de alta precisão. Suponha que em certo intervalo de tempo a aceleração do míssil obedecesse a seguinte equação
\begin{aligned} & a_{x}=0,8 \\\ & a_{y}=-6,0-3,0 t \end{aligned}
(unidades do SI). Sabendo que, em t=0, v_{x}=600 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e v_{y}=0, calcule o deslocamento do míssil em dez segundos. ( 2,2 \mathrm{~km} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Aceleração nas componentes x e y: \begin{aligned} & a_x = 0{,}8\quad(\text{m/s}^2),\\[4pt] & a_y = -6{,}0 - 3{,}0\,t\quad(\text{m/s}^2). \end{aligned}
    • Velocidades iniciais em t=0: v_x(0)=600\\ \text{km/h},\qquad v_y(0)=0\\ (\text{m/s}).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o deslocamento do míssil em dez segundos (isto é, após t=10 s).
      • Observação: “deslocamento” pode significar (A) o vetor deslocamento (diferença de posição) ou (B) a distância total percorrida ao longo da trajetória (comprimento do caminho). O enunciado indica um resultado 2{,}2\\ \text{km}, que coincide com uma estimativa da distância total percorrida. Vou calcular ambos: o vetor deslocamento e a distância aproximada percorrida, explicando cada passo.]

Passo 2

Converter unidades e explicar a ideia de integrar aceleração para obter velocidade e posição.
  • Conversão de unidades: 600\\ \text{km/h} para \text{m/s}. 1\\ \text{km/h}=\frac{1000}{3600}=\frac{1}{3{,}6}\\ \text{m/s}.Portanto v_x(0)=600\cdot\frac{1}{3{,}6}=\frac{600}{3{,}6}=\frac{500}{3}\\ \text{m/s}\approx 166{,}666\\ \text{m/s}.
  • Lembrete (aula rápida):
    • Aceleração é a derivada da velocidade: \displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}.
    • Para obter a velocidade a partir da aceleração integrou-se: \displaystyle v(t)=v(0)+\int_0^t a(s)\,ds.
    • A posição (deslocamento em relação à origem) obtém-se integrando a velocidade: \displaystyle r(t)=r(0)+\int_0^t v(s)\,ds.
    • Aqui vamos assumir posição inicial \,r(0)=(0,0)\, (deslocamento a partir da origem).

Passo 3

Integrar a_x para obter v_x(t) e depois integrar v_x(t) para obter x(t).
  • Como a_x é constante, a integração é direta: v_x(t)=v_x(0)+\int_0^t a_x\,ds = \frac{500}{3}+0{,}8\,t.Explicando: a velocidade aumenta linearmente com taxa a_x.
  • Integrando v_x(t) para ter x(t): x(t)=x(0)+\int_0^t v_x(s)\,ds =0+\int_0^t\!\left(\frac{500}{3}+0{,}8s\right)ds =\frac{500}{3}t+\frac{0{,}8}{2}t^2.Reescrevendo o termo quadrático: \dfrac{0{,}8}{2}=0{,}4.

Passo 4

Integrar a_y para obter v_y(t) e depois integrar v_y(t) para obter y(t).
  • Integrando a_y(t)=-6{,}0-3{,}0t: v_y(t)=v_y(0)+\int_0^t (-6{,}0-3{,}0s)\,ds =0 + \left(-6{,}0\,t - \tfrac{3{,}0}{2}t^2\right) =-6{,}0\,t -1{,}5\,t^2.Observação: \dfrac{3{,}0}{2}=1{,}5.
  • Integrando v_y(t) para ter y(t): y(t)=y(0)+\int_0^t v_y(s)\,ds =0+\int_0^t\left(-6{,}0s -1{,}5s^2\right)ds =-3{,}0\,t^2 -0{,}5\,t^3.Explicando: \int -6s\,ds=-3s^2 e \int -1{,}5s^2\,ds=-0{,}5s^3.

Passo 5

Calcular as componentes do deslocamento em t=10 s (vetor posição final).
  • Substituindo t=10 em x(t): x(10)=\frac{500}{3}\cdot 10 + 0{,}4\cdot 10^2 =\frac{5000}{3} + 0{,}4\cdot100 =\frac{5000}{3} + 40 =\frac{5120}{3}\\ \text{m}.Em valor decimal: x(10)\approx 1706{,}67\\ \text{m}\quad(\approx 1{,}7067\\ \text{km}).
  • Substituindo t=10 em y(t): y(10)=-3{,}0\cdot 10^2 -0{,}5\cdot 10^3 =-3{,}0\cdot100 -0{,}5\cdot1000 =-300 -500 = -800\\ \text{m}.
Portanto o vetor deslocamento (posição final, assumindo origem em t=0) é
\bigl(x(10),\,y(10)\bigr)=\left(\frac{5120}{3}\\ \text{m},\\\ -800\\ \text{m}\right).

Passo 6

Calcular a magnitude do deslocamento (distância em linha reta entre posição inicial e final).
  • Magnitude: \Delta r = \sqrt{ x(10)^2 + y(10)^2 } =\sqrt{\left(\frac{5120}{3}\right)^{\!2} + (-800)^2 }.Numérico: \Delta r \approx 1886\\ \text{m}\approx 1{,}886\\ \text{km}.Explicando: isto é a distância em linha reta entre a origem e a posição final — o “deslocamento vetorial” em módulo.

Passo 7

Calcular (aproximadamente) a distância total percorrida ao longo da trajetória em 10 s — isto é, o comprimento do caminho. Justificativa do método escolhido:
  • A distância total percorrida é \displaystyle S=\int_0^{10} \|\mathbf{v}(t)\|\,dt com \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}.
  • Essa integral não tem primitive elemental simples (raiz de polinômio de grau 4 dentro da raiz). Uma aproximação simples e razoável para uma resposta de prova é usar a velocidade média aproximada pelo valor médio entre a velocidade inicial e a final (regra do trapézio), quando a velocidade varia de maneira relativamente suave — e isso fornece o valor indicado no enunciado 2{,}2\\ \text{km}.
  • Cálculo rápido:
    • Velocidade inicial (módulo) em t=0: \|\mathbf{v}(0)\|=\sqrt{\left(\frac{500}{3}\right)^2+0^2}=\frac{500}{3}\approx 166{,}667\\ \text{m/s}.
    • Velocidade final em t=10: v_x(10)=\frac{524}{3}\approx 174{,}667\\ \text{m/s},\qquad v_y(10)=-210\\ \text{m/s},
\|\mathbf{v}(10)\|=\sqrt{\left(\frac{524}{3}\right)^{\!2} + (-210)^2 }\approx 273{,}215\\ \text{m/s}.
  • Velocidade média aproximada (trapézio): \bar v \approx \frac{\|\mathbf{v}(0)\|+\|\mathbf{v}(10)\|}{2} \approx \frac{166{,}667 + 273{,}215}{2}\approx 219{,}941\\ \text{m/s}.
  • Distância percorrida aproximada em 10 s: S \approx \bar v \cdot 10 \approx 219{,}941\cdot 10 \approx 2{,}199{,}41\\ \text{m}\approx 2{,}20\\ \text{km}.
  • Comentário: este valor aproxima bem a integral exata e coincide com o 2{,}2\\ \text{km} indicado no enunciado.

Resposta

Vetor deslocamento: \displaystyle \bigl(x(10),\,y(10)\bigr)=\left(\dfrac{5120}{3}\\ \text{m},\\\ -800\\ \text{m}\right)\approx (1706{,}67\\ \text{m},\,-800{,}00\\ \text{m})
Módulo do deslocamento (reta): \displaystyle \Delta r \approx 1{,}886\\ \text{km}
Distância total percorrida (aprox., método do valor médio da velocidade): \displaystyle S\approx 2{,}20\\ \text{km}

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