Uma partícula possui carga e velocidade dada por: , onde os componentes da velocidade são dados em m/s. A partícula entra num campo magnético que possui módulo constante e que é caracterizado por . Determine: (a) a força magnética sobre a partícula (módulo, direção e sentido), (b) o ângulo entre a velocidade inicial e o vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com carga elétrica de 1,0 picoCoulomb (pC) e que está se movendo com uma velocidade dada por v = 3 i + 2 j metros por segundo. Essa partícula entra em um campo magnético constante representado por B = 2 i + 3 j - 1 k. Nosso objetivo é:
(a) Encontrar a força magnética que atua sobre essa partícula, incluindo o módulo (quanto de força), a direção e o sentido da força.
(b) Descobrir o ângulo entre a velocidade inicial da partícula e o vetor campo magnético B.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de força magnética, que envolve o produto vetorial entre a velocidade e o campo magnético, e também um pouco de trigonometria para o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força magnética:
Aqui, $ q $ é a carga da partícula, $ \mathbf{v} $ é a velocidade, e $ \mathbf{B} $ é o campo magnético. O símbolo $ \times $ indica o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular tanto a $ \mathbf{v} $ quanto a $ \mathbf{B} $.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{v} \times \mathbf{B} $. Primeiro, escrevemos os vetores:
Agora, aplicamos a regra do determinante para o produto vetorial:
Calculando:
v times B = imath & jmath & k 3 & 2 & 0 2 & 3 & -1
v times B = imath(2 times (-1) - 0 times 3) - jmath(3 times (-1) - 0 times 2) + k(3 times 3 - 2 times 2)
= imath(-2) - jmath(-3) + k(9 - 4)
Passo 4
Agora, multiplicamos o resultado pelo valor da carga $ q $. Antes disso, vamos converter a carga de picoCoulombs para Coulombs:
q
1,pC = 1 times 10^-12,C
Portanto:
q = 1,0,pC = 1,0 times 10^-12,C
F = q, (v times B) = 1,0 times 10^-12, [ -2,imath + 3,jmath + 5,k ],N
Passo 5
Para encontrar o módulo da força, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
|F| = raizFx^2 + Fy^2 + Fz^2
|F| = raiz(-2,0 times 10^-12)^2 + (3,0 times 10^-12)^2 + (5,0 times 10^-12)^2
|F| = raiz4,0 times 10^-24 + 9,0 times 10^-24 + 25,0 times 10^-24
|F| = raiz38,0 times 10^-24 approx 6,16 times 10^-12,N
Passo 6
Agora, vamos determinar o ângulo entre a velocidade $ \mathbf{v} $ e o campo magnético $ \mathbf{B} $. Usamos a fórmula do produto escalar:
v
Primeiro, calculamos os módulos de $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{B} $:
(a) A força magnética sobre a partícula tem módulo aproximado de 6,16 times 10^-12 N, direcionada na direção de $ -2,\hat{\imath} + 3,\hat{\jmath} + 5,\hat{k} $.
(b) O ângulo entre a velocidade inicial e o campo magnético é de aproximadamente -2,imath + 3,jmath + 5,k .