Uma partícula está presa a uma mola. No instante
, ela está na posição de equilíbrio e a sua velocidade é de
dirigida para o lado negativo do eixo
. A sua frequência é
.
Qual é o módulo da posição do oscilador quando a sua velocidade é metade da inicial, ou seja, quando
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Qual é o módulo da posição do oscilador quando a sua velocidade é metade da inicial, ou seja, quando
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Dados do enunciado (peguei todos esses números do enunciado):
- Posição no instante
: . - Velocidade no instante
: (ou seja, velocidade de módulo apontando para o lado negativo). - Frequência:
.
O que a questão pede:
- Encontrar o módulo da posição
do oscilador no instante em que a velocidade vale metade da inicial, isto é, quando . Aqui é o módulo da velocidade inicial, , então . A resposta deve ser dada em centímetros e comparada com as alternativas.
Passo 2
Fórmulas e definições fundamentais (explicando o que é cada coisa):
- Movimento harmônico simples tem solução geral que podemos escrever como
onde
é a amplitude (o valor máximo de
),
é a pulsação (velocidade angular) e
é a fase inicial.
- A velocidade é a derivada temporal de
:
Explicando as variáveis:
é a amplitude (em cm),
tem unidade rad/s e está relacionada com a frequência por
;
é um ângulo que fixa a posição/velocidade iniciais.
Passo 3
Determinar
e a fase/amplitude a partir das condições iniciais.
- Primeiro, a pulsação:
- Usar as condições iniciais
e .
Da fórmula deem :
logo
(ou
; escolhemos
para consistência).
- Agora a velocidade em
:
Como
, segue
Assim a amplitude é
Passo 4
Escrever
e impor a condição
.
- Substituindo
na expressão de :
Usando a identidade
e
, obtemos
- A condição pedida é que a velocidade tenha módulo metade da inicial, isto é
. Assim
Passo 5
Calcular
a partir da condição encontrada.
- Sabendo
, temos
logo
.
- A posição é
Portanto o módulo da posição é
- Substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida (intuição/cheque): alternativa via energia. Em MHS a velocidade máxima é
. Se a velocidade no instante vale metade disso em módulo,
, então pela conservação de energia
leva a
o que dá o mesmo resultado
. Bom sinal!