Uma partícula está presa a uma mola. No instante t=0, ela está na posição de equilíbrio e a sua velocidade é de 36 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} dirigida para o lado negativo do eixo x. A sua frequência é f=6 \mathrm{~Hz}.
Qual é o módulo da posição do oscilador quando a sua velocidade é metade da inicial, ou seja, quando
v=v_{0} / 2 ?
(a) \frac{\sqrt{3}}{2 \pi} \mathrm{~cm}
(b) \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi} \mathrm{~cm}
(c) \frac{2 \sqrt{3}}{\pi} \mathrm{~cm}
(d) \frac{3 \sqrt{3}}{\pi} \mathrm{~cm}
(e) \frac{4 \sqrt{3}}{\pi} \mathrm{~cm}

Passo 1

Dados do enunciado (peguei todos esses números do enunciado):
  • Posição no instante t=0: x(0)=0.
  • Velocidade no instante t=0: v(0)=-36\\ \mathrm{cm/s} (ou seja, velocidade de módulo 36\\ \mathrm{cm/s} apontando para o lado negativo).
  • Frequência: f=6\\ \mathrm{Hz}.
O que a questão pede:
  • Encontrar o módulo da posição |x| do oscilador no instante em que a velocidade vale metade da inicial, isto é, quando v=v_0/2. Aqui v_0 é o módulo da velocidade inicial, v_0=36\\ \mathrm{cm/s}, então v_0/2=18\\ \mathrm{cm/s}. A resposta deve ser dada em centímetros e comparada com as alternativas.

Passo 2

Fórmulas e definições fundamentais (explicando o que é cada coisa):
  • Movimento harmônico simples tem solução geral que podemos escrever como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude (o valor máximo de |x|), \omega é a pulsação (velocidade angular) e \varphi é a fase inicial.
  • A velocidade é a derivada temporal de x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Explicando as variáveis: A>0 é a amplitude (em cm), \omega tem unidade rad/s e está relacionada com a frequência por \omega=2\pi f; \varphi é um ângulo que fixa a posição/velocidade iniciais.

Passo 3

Determinar \omega e a fase/amplitude a partir das condições iniciais.
  • Primeiro, a pulsação:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 6=12\pi\\ \text{rad/s}.
  • Usar as condições iniciais x(0)=0 e v(0)=-36.
    Da fórmula de x em t=0:
x(0)=A\cos\varphi=0 \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi=0,
logo \varphi=\tfrac{\pi}{2} (ou \tfrac{3\pi}{2}; escolhemos \tfrac{\pi}{2} para consistência).
  • Agora a velocidade em t=0:
v(0)=-A\omega\sin\varphi=-A\omega\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-A\omega.
Como v(0)=-36\\ \mathrm{cm/s}, segue
-A\omega=-36\quad\Rightarrow\quad A\omega=36.
Assim a amplitude é
A=\frac{36}{\omega}=\frac{36}{12\pi}=\frac{3}{\pi}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Escrever v(t) e impor a condição v=v_0/2.
  • Substituindo \varphi=\tfrac{\pi}{2} na expressão de v(t):
v(t)=-A\omega\sin\!\left(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\right).
Usando a identidade \sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})=\cos\theta e A\omega=36, obtemos
v(t)=-36\cos(\omega t).
  • A condição pedida é que a velocidade tenha módulo metade da inicial, isto é |v(t)|=v_0/2=18\\ \mathrm{cm/s}. Assim
| -36\cos(\omega t) |=18\quad\Rightarrow\quad |\cos(\omega t)|=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular |x| a partir da condição encontrada.
  • Sabendo |\cos(\omega t)|=\tfrac{1}{2}, temos
\sin^2(\omega t)=1-\cos^2(\omega t)=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4},
logo |\sin(\omega t)|=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • A posição é
x(t)=A\cos\!\left(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\right)= -A\sin(\omega t).
Portanto o módulo da posição é
|x|=A\,|\sin(\omega t)|=A\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Substituindo A=\dfrac{3}{\pi}:
|x|=\frac{3}{\pi}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Verificação rápida (intuição/cheque): alternativa via energia. Em MHS a velocidade máxima é v_{\max}=A\omega=36. Se a velocidade no instante vale metade disso em módulo, v=36/2, então pela conservação de energia
\frac{v^2}{v_{\max}^2}+\frac{x^2}{A^2}=1
leva a
\frac{x}{A}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
o que dá o mesmo resultado |x|=A\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\\ \mathrm{cm}. Bom sinal!

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\\ \mathrm{cm}

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