• 31 Dois blocos, com 3,6 \mathrm{~N} e 7,2 \mathrm{~N} de peso, estão ligados por uma corda sem massa e deslizam para baixo em um plano inclinado de 30^{\circ}. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco mais leve e o plano é 0,10 e o coeficiente de atrito cinético entre o bloco mais pesado e o plano é 0,20 . Supondo que o bloco mais leve desce na frente, determine (a) o módulo da aceleração dos blocos e (b) a tração da corda.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei todos os números do enunciado):
    • Peso do bloco mais leve: W_1 = 3,6\\ \mathrm{N}.
    • Peso do bloco mais pesado: W_2 = 7,2\\ \mathrm{N}.
    • Inclinação: \theta = 30^\circ.
    • Coeficiente de atrito cinético entre o bloco mais leve e o plano: \mu_1 = 0,10.
    • Coeficiente de atrito cinético entre o bloco mais pesado e o plano: \mu_2 = 0,20.
    • A corda é sem massa e os blocos deslizam para baixo (o bloco mais leve está à frente, conforme enunciado).
  • O enunciado pede:
    (a) o módulo da aceleração dos blocos (assumindo que ambos se movem juntos);
    (b) a tração na corda.

Passo 2

Entender as forças que atuam em cada bloco (explicando as fórmulas usadas).
  • Para um bloco sobre um plano inclinado, o peso W pode ser decomposto em duas componentes:
    • componente paralela ao plano (para baixo): \;W\sin\theta\;.
    • componente perpendicular ao plano (normal): \;N=W\cos\theta\;.
  • A força de atrito cinético tem módulo dado por
    f_k=\mu N=\mu W\cos\theta,
    e seu sentido é sempre oposto ao movimento relativo entre bloco e plano. Como os blocos descem, o atrito age para cima do plano em ambos os blocos.
  • Newton (segunda lei) ao longo do plano para cada bloco: soma das forças ao longo do plano = massa \times aceleração. Como os pesos foram dados (forças), as massas serão m=W/g quando for necessário usar m.
  • Vou trabalhar com g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} quando precisar obter massas a partir dos pesos.

Passo 3

Calcular as forças normais e os atritos em cada bloco.
  • Para \theta=30^\circ vale \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}.
  • Bloco 1 (mais leve):
    N_1 = W_1\cos\theta = 3,6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 3,118\\ \mathrm{N}.
f_1=\mu_1 N_1 = 0,10\cdot N_1 \approx 0,10\cdot 3,118 \approx 0,312\\ \mathrm{N}.
  • Bloco 2 (mais pesado): N_2 = W_2\cos\theta = 7,2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 6,235\\ \mathrm{N}.
f_2=\mu_2 N_2 = 0,20\cdot N_2 \approx 0,20\cdot 6,235 \approx 1,247\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular as componentes do peso ao longo do plano e montar a equação total do sistema.
  • Componentes do peso para baixo do plano: W_1\sin\theta = 3,6\cdot\frac{1}{2}=1,8\\ \mathrm{N},
W_2\sin\theta = 7,2\cdot\frac{1}{2}=3,6\\ \mathrm{N}.
  • As forças que tendem a fazer o sistema descer são as duas componentes W_1\sin\theta e W_2\sin\theta. As forças que se opõem ao movimento são f_1 e f_2. A tração interna da corda é interna ao sistema; para achar a aceleração do conjunto podemos somar forças externas ao sistema composto pelos dois blocos.
  • Força resultante total para baixo do plano sobre o sistema:
    F_{\text{res}} = (W_1\sin\theta + W_2\sin\theta) - (f_1 + f_2).
    Substituindo os valores:
    F_{\text{res}} = (1,8 + 3,6) - (0,312 + 1,247) \approx 5,4 - 1,559 \approx 3,841\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Obter a massa total do sistema e aplicar Newton para achar a aceleração.
  • As massas correspondentes aos pesos são: m_1=\frac{W_1}{g}=\frac{3,6}{9,8}\approx 0,36735\\ \mathrm{kg},
m_2=\frac{W_2}{g}=\frac{7,2}{9,8}\approx 0,73469\\ \mathrm{kg}.
m_{\text{total}}=m_1+m_2=\frac{W_1+W_2}{g}=\frac{10,8}{9,8}\approx 1,10204\\ \mathrm{kg}.
  • Pela segunda lei para o sistema: m_{\text{total}}\,a = F_{\text{res}} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{F_{\text{res}}}{m_{\text{total}}}.Substituindo: a \approx \frac{3,841}{1,10204}\approx 3,486\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Calcular a tração na corda (usar a equação de um dos blocos; uso o bloco mais leve à frente).
  • Para o bloco 1, somando forças ao longo do plano (tomando sentido para baixo como positivo):
    W_1\sin\theta - f_1 - T = m_1 a.
    Isolando T:
    T = W_1\sin\theta - f_1 - m_1 a.
  • Substituindo os valores numéricos já calculados:
    T \approx 1,8 - 0,312 - (0,36735\cdot 3,486).
    Calcule o termo m_1 a:
    m_1 a \approx 0,36735\cdot 3,486 \approx 1,280.
    Assim
    T \approx 1,8 - 0,312 - 1,280 \approx 0,208\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Checagem rápida (consistência usando as equações do outro bloco).
  • Para o bloco 2, somando forças para baixo: W_2\sin\theta - f_2 + T = m_2 a.Isolando T: T = m_2 a - (W_2\sin\theta - f_2).Substituindo: m_2 a \approx 0,73469\cdot 3,486 \approx 2,561,
W_2\sin\theta - f_2 = 3,6 - 1,247 = 2,353,
T \approx 2,561 - 2,353 \approx 0,208\\ \mathrm{N},
que coincide com o valor obtido anteriormente — ótimo: consistência confirmada.

Resposta

a \approx 3,49\\ \mathrm{m/s^2}
T \approx 0,208\\ \mathrm{N}

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