Uma partícula tem aceleração a(t)=4 t(\mathrm{SI}) com v(0)=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e x(0)=0. Determine:
(a) v(t) ;( b ) x(t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • A aceleração da partícula é \displaystyle a(t)=4t (unidades SI).
  • A velocidade inicial é \displaystyle v(0)=2,0\\ \mathrm{m/s}.
  • A posição inicial é \displaystyle x(0)=0.
    Perguntas:
    (a) Determinar \displaystyle v(t).
    (b) Determinar \displaystyle x(t).

Passo 2

Relação entre aceleração e velocidade — a ideia fundamental: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em fórmulas,
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Isto significa que, para obter a velocidade, devemos integrar a aceleração \displaystyle a(t) em relação a \displaystyle t. Integrar aqui quer dizer encontrar uma função cuja derivada é \displaystyle a(t); ao integrar aparece uma constante arbitrária (constante de integração) que será determinada pela condição inicial \displaystyle v(0).

Passo 3

Integramos a equação \displaystyle \frac{dv}{dt}=4t. Escrevendo a integração:
v(t)=\int 4t\,dt.
Calculando a primitiva de \displaystyle 4t: a primitiva de \displaystyle t é \displaystyle \tfrac{1}{2}t^2, então a primitiva de \displaystyle 4t é \displaystyle 4\cdot \tfrac{1}{2}t^2=2t^2. Não esqueça a constante de integração \displaystyle C_1. Assim
v(t)=2t^2 + C_1.
Usamos a condição inicial \displaystyle v(0)=2,0\\ \mathrm{m/s} para achar \displaystyle C_1. Substituindo \displaystyle t=0:
v(0)=2\cdot 0^2 + C_1 = C_1 = 2,0.
Portanto a velocidade é
v(t)=2t^2 + 2,0\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Relação entre velocidade e posição — agora a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Para obter a posição \displaystyle x(t) integramos \displaystyle v(t). Substituindo a expressão encontrada:
\frac{dx}{dt}=2t^2 + 2,0.
Integramos em relação a \displaystyle t:
x(t)=\int \bigl(2t^2 + 2,0\bigr)\,dt.
Calculemos as primitivas termo a termo:
  • A primitiva de \displaystyle 2t^2 é \displaystyle 2\cdot \frac{t^3}{3}=\frac{2}{3}t^3.
  • A primitiva de \displaystyle 2,0 (constante) é \displaystyle 2,0\,t.
    Somando e incluindo a constante de integração \displaystyle C_2,
x(t)=\frac{2}{3}t^3 + 2,0\,t + C_2.
Usamos a condição inicial \displaystyle x(0)=0 para achar \displaystyle C_2. Substituindo \displaystyle t=0:
x(0)=\frac{2}{3}\cdot 0^3 + 2,0\cdot 0 + C_2 = C_2 = 0.
Logo a posição é
x(t)=\frac{2}{3}t^3 + 2,0\,t\quad(\mathrm{m}).

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando \displaystyle x(t) obtemos \displaystyle v(t):
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{2}{3}t^3 + 2,0\,t\right)=2t^2 + 2,0,
e derivando \displaystyle v(t) obtemos \displaystyle a(t):
\frac{d}{dt}\!\left(2t^2 + 2,0\right)=4t,
que coincide com a aceleração dada. Tudo consistente. Força mental: sempre verifique condições iniciais e unidades.

Resposta

v(t)=2t^2 + 2,0\\ \mathrm{m/s}
x(t)=\dfrac{2}{3}t^3 + 2,0\,t\\ \mathrm{m}

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