Uma partícula tem aceleração
com
e
. Determine:
(a)
b
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- A aceleração da partícula é
(unidades SI). - A velocidade inicial é
. - A posição inicial é
.
Perguntas:
(a) Determinar.
(b) Determinar.
Passo 2
Relação entre aceleração e velocidade — a ideia fundamental: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em fórmulas,
Isto significa que, para obter a velocidade, devemos integrar a aceleração
em relação a
. Integrar aqui quer dizer encontrar uma função cuja derivada é
; ao integrar aparece uma constante arbitrária (constante de integração) que será determinada pela condição inicial
.
Passo 3
Integramos a equação
. Escrevendo a integração:
Calculando a primitiva de
: a primitiva de
é
, então a primitiva de
é
. Não esqueça a constante de integração
. Assim
Usamos a condição inicial
para achar
. Substituindo
:
Portanto a velocidade é
Passo 4
Relação entre velocidade e posição — agora a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para obter a posição
integramos
. Substituindo a expressão encontrada:
Integramos em relação a
:
Calculemos as primitivas termo a termo:
- A primitiva de
é . - A primitiva de
(constante) é .
Somando e incluindo a constante de integração,
Usamos a condição inicial
para achar
. Substituindo
:
Logo a posição é
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtemos
:
e derivando
obtemos
:
que coincide com a aceleração dada. Tudo consistente. Força mental: sempre verifique condições iniciais e unidades.