Para
(SI), determine
e comente o sinal de
para
.
Passo 1
O enunciado dá a função posição
(em unidades do SI). Pede explicitamente três coisas:
- Determinar a velocidade
. - Determinar a aceleração
. - Comentar o sinal de
para .
Informações relevantes que já temos e que vou usar:
- A expressão está definida quando
, ou seja, para . - Em cinemática, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
- As unidades serão: se
está em metros então fica em e em .
Passo 2
Lembrete rápido e didático sobre derivada de logaritmo (regra que vamos usar): se temos uma função
diferenciável e consideramos
, então a derivada é dada por
Aqui
significa a derivada de
em relação a
. Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicada ao logaritmo natural.
Passo 3
Aplicando a regra do passo anterior à nossa função, com
, temos
. Portanto
Como
, pela linearidade da derivada (constante multiplicativa sai da derivada) obtemos a velocidade:
Passo 4
Escrevendo de forma um pouco diferente (potência negativa) para facilitar a próxima derivação:
Agora vamos derivar
para obter
. Usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia: se
então
(o último
é a derivada de
). Aplicando com
e multiplicando por
, temos
Em forma de fração:
Passo 5
Vamos comentar as unidades e valores iniciais para intuir o comportamento:
- Se
está em metros, então tem unidades e tem unidades . - Valor inicial da velocidade:
(por exemplo ). - Valor inicial da aceleração:
(por exemplo ).
Passo 6
Análise do sinal de
para
:
- Para todo
(domínio da função), temos . Em particular, para também . - A expressão de
é
O numerador
é negativo e o denominador
é positivo, logo
para todo
, e portanto também para todo
.
Interpretação física (didática e curta): para
a velocidade
é positiva (porque
), enquanto a aceleração é negativa. Isso significa que o móvel está se movendo para a frente (velocidade positiva) mas com aceleração contrária ao movimento — ou seja, está desacelerando (a velocidade diminui com o tempo).