Para x(t)=20 \ln (1+t) (SI), determine v(t), a(t) e comente o sinal de a(t) para t>0.

Passo 1

O enunciado dá a função posição
x(t)=20\ln(1+t)
(em unidades do SI). Pede explicitamente três coisas:
  1. Determinar a velocidade v(t).
  2. Determinar a aceleração a(t).
  3. Comentar o sinal de a(t) para t>0.
Informações relevantes que já temos e que vou usar:
  • A expressão está definida quando 1+t>0, ou seja, para t>-1.
  • Em cinemática, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
  • As unidades serão: se x está em metros então v fica em \mathrm{m/s} e a em \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre derivada de logaritmo (regra que vamos usar): se temos uma função u(t) diferenciável e consideramos f(t)=\ln(u(t)), então a derivada é dada por
\frac{d}{dt}\ln(u(t))=\frac{u'(t)}{u(t)}.
Aqui u'(t) significa a derivada de u em relação a t. Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicada ao logaritmo natural.

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior à nossa função, com u(t)=1+t, temos u'(t)=1. Portanto
\frac{d}{dt}\ln(1+t)=\frac{1}{1+t}.
Como x(t)=20\ln(1+t), pela linearidade da derivada (constante multiplicativa sai da derivada) obtemos a velocidade:
v(t)=\frac{dx}{dt}=20\cdot\frac{d}{dt}\ln(1+t)=20\cdot\frac{1}{1+t}.

Passo 4

Escrevendo de forma um pouco diferente (potência negativa) para facilitar a próxima derivação:
v(t)=20(1+t)^{-1}.
Agora vamos derivar v(t) para obter a(t). Usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia: se g(t)=(1+t)^{n} então g'(t)=n(1+t)^{n-1}\cdot(1) (o último (1) é a derivada de 1+t). Aplicando com n=-1 e multiplicando por 20, temos
a(t)=\frac{dv}{dt}=20\cdot(-1)(1+t)^{-2}=-20(1+t)^{-2}.
Em forma de fração:
a(t)=-\frac{20}{(1+t)^2}.

Passo 5

Vamos comentar as unidades e valores iniciais para intuir o comportamento:
  • Se x está em metros, então v tem unidades \mathrm{m/s} e a tem unidades \mathrm{m/s^2}.
  • Valor inicial da velocidade: v(0)=\dfrac{20}{1+0}=20 (por exemplo 20\\ \mathrm{m/s}).
  • Valor inicial da aceleração: a(0)=-\dfrac{20}{(1+0)^2}=-20 (por exemplo -20\\ \mathrm{m/s^2}).

Passo 6

Análise do sinal de a(t) para t>0:
  • Para todo t>-1 (domínio da função), temos (1+t)^2>0. Em particular, para t>0 também (1+t)^2>0.
  • A expressão de a(t) é
a(t)=-\frac{20}{(1+t)^2}.
O numerador -20 é negativo e o denominador (1+t)^2 é positivo, logo a(t)<0 para todo t>-1, e portanto também para todo t>0.
Interpretação física (didática e curta): para t>0 a velocidade v(t)=\dfrac{20}{1+t} é positiva (porque 1+t>0), enquanto a aceleração é negativa. Isso significa que o móvel está se movendo para a frente (velocidade positiva) mas com aceleração contrária ao movimento — ou seja, está desacelerando (a velocidade diminui com o tempo).

Resposta

v(t)=\dfrac{20}{1+t}
a(t)=-\dfrac{20}{(1+t)^2}
a(t)<0 para t>0

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