Uma partícula tem v(t)=6 t-2 (SI) e x(0)=1,0 \mathrm{~m}. Determine: (a) x(t) por integração; (b) a(t) ;\text{(c)} o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo:
  • Informação 1: a velocidade da partícula é \displaystyle v(t)=6\,t-2 (unidades do SI, ou seja \mathrm{m/s}).
  • Informação 2: a posição inicial é \displaystyle x(0)=1,0\\ \mathrm{m}.
Perguntas:
  1. Calcular \displaystyle x(t) por integração.
  2. Calcular \displaystyle a(t).
  3. Determinar o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento (ou seja, quando a velocidade muda de sinal).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
  • Relação entre posição, velocidade e aceleração: a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente,
v(t)=\frac{dx}{dt},
onde \displaystyle x(t) é a posição em função do tempo e \displaystyle v(t) é a velocidade. Isso significa que para obter \displaystyle x(t) a partir de \displaystyle v(t) fazemos uma integral:
x(t)=\int v(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração que ajustamos usando a condição inicial \displaystyle x(0).
  • A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Isso significa que para obter \displaystyle a(t) basta derivar \displaystyle v(t).
  • Inversão de sentido do movimento: ocorre quando a velocidade muda de sinal. O instante exato de inversão é o tempo em que a velocidade é zero, i.e., solução de \displaystyle v(t)=0. Depois disso verificamos o sinal da velocidade antes e depois para confirmar a inversão.

Passo 3

Calcular \displaystyle x(t) por integração (passo a passo):
Temos \displaystyle v(t)=6\,t-2 e sabemos que \displaystyle v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Logo
\frac{dx}{dt}=6\,t-2.
Para obter \displaystyle x(t) integramos ambos os lados em relação a \displaystyle t:
x(t)=\int (6\,t-2)\,dt + C.
Agora integramos termo a termo. Lembre que \displaystyle \int t\,dt=\tfrac{1}{2}t^{2} e \displaystyle \int \,dt=t. Então
\int (6\,t-2)\,dt = 6\int t\,dt - 2\int dt = 6\cdot\frac{1}{2}t^{2} - 2t = 3t^{2}-2t.
Assim
x(t)=3t^{2}-2t + C.
Usamos a condição inicial \displaystyle x(0)=1,0\\ \mathrm{m}. Substituindo \displaystyle t=0:
x(0)=3\cdot 0^{2}-2\cdot 0 + C = C = 1,0.
Portanto \displaystyle C=1,0 e a posição é
x(t)=3t^{2}-2t+1.
Observação pedagógica: o C representa a posição no instante inicial (quando \displaystyle t=0), por isso a condição inicial determina C.

Passo 4

Calcular \displaystyle a(t) como derivada de \displaystyle v(t) (passo a passo):
Temos \displaystyle v(t)=6\,t-2. A aceleração é \displaystyle a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Derivando termo a termo (lembre: \dfrac{d}{dt}(t)=1 e \dfrac{d}{dt}(\text{constante})=0):
a(t)=\frac{d}{dt}(6t-2)=6.
Isso significa que a aceleração é constante e igual a \displaystyle 6\\ \mathrm{m/s^{2}}. Explicação intuitiva: como a velocidade é uma função linear com coeficiente angular 6, a sua taxa de variação é exatamente esse coeficiente.

Passo 5

Determinar o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento (passo a passo):
A inversão de sentido ocorre quando a velocidade passa por zero. Então resolvemos
v(t)=6t-2=0.
Isolando \displaystyle t:
6t=2 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\ \mathrm{s}.
Analisando o sinal para confirmar a inversão: em \displaystyle t=0 temos \displaystyle v(0)=6\cdot 0-2=-2\\ \mathrm{m/s} (ou seja, movimento no sentido negativo). Para \displaystyle t>\tfrac{1}{3} a velocidade é positiva (por exemplo, em \displaystyle t=1 temos \displaystyle v(1)=4\\ \mathrm{m/s}). Portanto a velocidade muda de negativa para positiva em \displaystyle t=\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{s}, confirmando a inversão do sentido do movimento nesse instante.

Resposta

(a) x(t)=3t^{2}-2t+1\\ \mathrm{m}
(b) a(t)=6\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) t=\dfrac{1}{3}\\ \mathrm{s}

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