Uma partícula tem
(SI) e
. Determine: (a)
por integração; (b)
instante em que a partícula inverte o sentido do movimento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo:
- Informação 1: a velocidade da partícula é
(unidades do SI, ou seja ). - Informação 2: a posição inicial é
.
Perguntas:
- Calcular
por integração. - Calcular
. - Determinar o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento (ou seja, quando a velocidade muda de sinal).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
- Relação entre posição, velocidade e aceleração: a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente,
onde
é a posição em função do tempo e
é a velocidade. Isso significa que para obter
a partir de
fazemos uma integral:
onde
é a constante de integração que ajustamos usando a condição inicial
.
- A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo:
Isso significa que para obter
basta derivar
.
- Inversão de sentido do movimento: ocorre quando a velocidade muda de sinal. O instante exato de inversão é o tempo em que a velocidade é zero, i.e., solução de
. Depois disso verificamos o sinal da velocidade antes e depois para confirmar a inversão.
Passo 3
Calcular
por integração (passo a passo):
Temos
e sabemos que
. Logo
Para obter
integramos ambos os lados em relação a
:
Agora integramos termo a termo. Lembre que
e
. Então
Assim
Usamos a condição inicial
. Substituindo
:
Portanto
e a posição é
Observação pedagógica: o
representa a posição no instante inicial (quando
), por isso a condição inicial determina
.
Passo 4
Calcular
como derivada de
(passo a passo):
Temos
. A aceleração é
. Derivando termo a termo (lembre:
e
):
Isso significa que a aceleração é constante e igual a
. Explicação intuitiva: como a velocidade é uma função linear com coeficiente angular
, a sua taxa de variação é exatamente esse coeficiente.
Passo 5
Determinar o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento (passo a passo):
A inversão de sentido ocorre quando a velocidade passa por zero. Então resolvemos
Isolando
:
Analisando o sinal para confirmar a inversão: em
temos
(ou seja, movimento no sentido negativo). Para
a velocidade é positiva (por exemplo, em
temos
). Portanto a velocidade muda de negativa para positiva em
, confirmando a inversão do sentido do movimento nesse instante.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)