Para x(t)=e^{-t} (SI), determine v(t) e a(t). A partícula se aproxima ou se afasta da origem ao longo do tempo?

Passo 1

Enunciado e dados: foi dada a posição da partícula ao longo do tempo como \displaystyle x(t)=e^{-t} (unidades SI). O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade \displaystyle v(t).
  • Determinar a aceleração \displaystyle a(t).
  • Dizer se a partícula se aproxima ou se afasta da origem conforme o tempo aumenta.
Informações importantes (do enunciado):
  • A função posição é \displaystyle x(t)=e^{-t}.
  • Unidades são do Sistema Internacional (portanto \displaystyle x em metros, \displaystyle v em metros por segundo, \displaystyle a em metros por segundo ao quadrado — se assumirmos metros).
  • Não foi explicitado o domínio de t; normalmente consideramos t\ge 0, mas as fórmulas valerão para qualquer t\in\mathbb{R}.

Passo 2

O que é velocidade e como calculamos: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em fórmulas,
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Interpretação: \displaystyle v(t) mostra a taxa de variação instantânea de \displaystyle x com o tempo; unidades de \displaystyle v são distância/tempo (por exemplo, m/s). Para calcular a derivada de uma exponencial composta, usamos a regra da cadeia: se \displaystyle x(t)=e^{u(t)}, então
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=e^{u(t)}\cdot u'(t).
Exemplo curto para fixar: se \displaystyle u(t)=2t então \displaystyle \frac{d}{dt}e^{2t}=e^{2t}\cdot 2.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: aqui \displaystyle x(t)=e^{-t}, então u(t)=-t e u'(t)=-1. Logo,
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}e^{-t}=e^{-t}\cdot(-1)=-e^{-t}.
Observações didáticas:
  • \displaystyle e^{-t}>0 para todo t.
  • Assim \displaystyle v(t)=-e^{-t}<0 para todo t: a velocidade é sempre negativa.
  • Unidade: se \displaystyle x está em metros, \displaystyle v está em metros por segundo.

Passo 4

O que é aceleração e como calculamos: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}.
Unidades: distância por tempo ao quadrado (por exemplo, m/s ^2). Para calcular, derivamos \displaystyle v(t).

Passo 5

Derivando \displaystyle v(t)=-e^{-t}:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(-e^{-t}\bigr)=-\frac{d}{dt}e^{-t}=-\bigl(e^{-t}\cdot(-1)\bigr)=e^{-t}.
Portanto \displaystyle a(t)=e^{-t}.
Observações didáticas:
  • \displaystyle a(t)=e^{-t}>0 para todo t.
  • A velocidade é negativa ( \displaystyle v<0) enquanto a aceleração é positiva ( \displaystyle a>0). Isso significa que a aceleração aponta no sentido oposto ao da velocidade: a partícula está desacelerando (a magnitude da velocidade diminui com o tempo).
  • A velocidade em módulo é \displaystyle |v(t)|=e^{-t}. Como \displaystyle e^{-t} decresce com t, o módulo da velocidade diminui: a partícula vai ficando mais lenta com o tempo.

Passo 6

Comportamento quanto à origem:
  • A posição \displaystyle x(t)=e^{-t} é positiva para todo t e satisfaz \displaystyle \lim_{t\to\infty}x(t)=0. Se considerarmos t\ge 0, então \displaystyle x(0)=1 e \displaystyle x(t) decresce continuamente de 1 para 0.
  • A velocidade \displaystyle v(t)=-e^{-t} é negativa, então a partícula desloca-se no sentido de reduzir x (isto é, no sentido do zero).
    Conclusão: a partícula se aproxima da origem ao longo do tempo, fazendo isso de maneira assintótica e desacelerando (velocidade e aceleração tendem a zero quando t\to\infty).

Resposta

\displaystyle v(t)=-e^{-t}
\displaystyle a(t)=e^{-t}
A partícula se aproxima da origem.

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