Para
(SI), determine
e
. A partícula se aproxima ou se afasta da origem ao longo do tempo?
Passo 1
Enunciado e dados: foi dada a posição da partícula ao longo do tempo como
(unidades SI). O que o problema pede:
- Determinar a velocidade
. - Determinar a aceleração
. - Dizer se a partícula se aproxima ou se afasta da origem conforme o tempo aumenta.
Informações importantes (do enunciado):
- A função posição é
. - Unidades são do Sistema Internacional (portanto
em metros, em metros por segundo, em metros por segundo ao quadrado — se assumirmos metros). - Não foi explicitado o domínio de
; normalmente consideramos , mas as fórmulas valerão para qualquer .
Passo 2
O que é velocidade e como calculamos: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em fórmulas,
Interpretação:
mostra a taxa de variação instantânea de
com o tempo; unidades de
são distância/tempo (por exemplo, m/s). Para calcular a derivada de uma exponencial composta, usamos a regra da cadeia: se
, então
Exemplo curto para fixar: se
então
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: aqui
, então
e
. Logo,
Observações didáticas:
-
para todo . - Assim
para todo : a velocidade é sempre negativa. - Unidade: se
está em metros, está em metros por segundo.
Passo 4
O que é aceleração e como calculamos: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Unidades: distância por tempo ao quadrado (por exemplo, m/s
). Para calcular, derivamos
.
Passo 5
Derivando
:
Portanto
.
Observações didáticas:
Observações didáticas:
-
para todo . - A velocidade é negativa (
) enquanto a aceleração é positiva ( ). Isso significa que a aceleração aponta no sentido oposto ao da velocidade: a partícula está desacelerando (a magnitude da velocidade diminui com o tempo). - A velocidade em módulo é
. Como decresce com , o módulo da velocidade diminui: a partícula vai ficando mais lenta com o tempo.
Passo 6
Comportamento quanto à origem:
- A posição
é positiva para todo e satisfaz . Se considerarmos , então e decresce continuamente de para . - A velocidade
é negativa, então a partícula desloca-se no sentido de reduzir (isto é, no sentido do zero).
Conclusão: a partícula se aproxima da origem ao longo do tempo, fazendo isso de maneira assintótica e desacelerando (velocidade e aceleração tendem a zero quando).
Resposta
A partícula se aproxima da origem.