Uma partícula tem velocidade inicial igual a v0. Ela colide com uma segunda partícula em repouso que tem a mesma massa e sofre um desvio angular alpha. Sua velocidade após a colisão é v. A segunda partícula sofre um impulso e sua velocidade faz um ângulo theta com a direção inicial da primeira partícula.
a) Mostre que v=v0 cos alpha.
b) Mostre que, se a colisão for elástica, .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o enunciado: temos duas partículas de mesma massa . A primeira chega com velocidade inicial , bate na segunda (que estava parada) e após a colisão a primeira sai com velocidade desviada de um ângulo em relação à direção original. A segunda sai com velocidade (digamos ) num ângulo .
Conteúdo: conservação de quantidade de movimento (momentum) em duas dimensões e, para a parte (b), conservação de energia cinética em colisão elástica.

Passo 2

Conservação de momentum vetorial:
m,vec v0 = m,vec v + m,vec u
Como são todas mesmas massas, podemos dividir por . Agora vamos projetar em eixos (direção inicial de ) e (perpendicular a ela).
Componentes:
  • Eixo : .
  • Eixo : .

Passo 3

A ideia é isolar usintheta = vsinalpha Rightarrow u = vsinalphasintheta . Da componente tantheta = usinthetaucostheta = vsinalphav0 - vcosalpha :
boxedtantheta = vsinalpha,v0 - vcosalpha,
Mas fica mais fácil usar diretamente:
Aqui, no denominador, usamos a equação do eixo : .
Logo:

Passo 4

Agora, para colisão elástica, além de momentum, a energia cinética também se conserva:
tfrac12 m v0^2 = tfrac12 m v^2 + tfrac12 m u^2
Cancelamos v0^2 = v^2 + u^2 e obtemos
ucostheta = v0 - vcosalpha, usintheta = vsinalpha
Substituímos u^2 = (v0 - vcosalpha)^2 + (vsinalpha)^2 = v0^2 - 2v0vcosalpha + v^2(cos^2alpha+sin^2alpha) = v0^2 - 2v0vcosalpha + v^2 . Já sabemos:
Então

Passo 5

Voltando à energia:
v0^2 = v^2 + l(v0^2 - 2v0vcosalpha + v^2r) = 2v^2 - 2v0vcosalpha + v0^2
Cancelamos 0 = 2v^2 - 2v0vcosalpha ;;Rightarrow;; v,(v - v0cosalpha)=0 de ambos os lados e isolamos:
boxedv = v0cosalpha
Descartamos (colisão trivial) e ficamos com

Resposta

a)
b) Para colisão elástica:

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