Levando em conta o modelo de Bohr:
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
(b) Os valores da constante de Rydberg para o hidrogênio e para o íon de hélio, levando em conta as massas reduzidas, são respectivamente,
e
. Sabendo que a relação entre as massas dos núcleos desses elementos é
, calcule a razão entre a massa do próton e a massa do elétron.
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
Passo 1
Então, a questão é sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio.
(a) Pede pra deduzir a fórmula da constante de Rydberg
(a) Pede pra deduzir a fórmula da constante de Rydberg
usando o modelo de Bohr (energia dos níveis, quantização do momento angular etc.).
(b) A gente já sabe os valores experimentais de para H e para He
(levando em conta a massa reduzida), e a razão entre as massas nucleares
. Com isso, pede pra achar a razão
(próton sobre elétron).
Conteúdo: Física atômica – modelo de Bohr, energia de níveis, massa reduzida e fórmula de Rydberg. Vamos precisar das fórmulas de energia do Bohr, definição de massa reduzida e um pouco de álgebra.
(b) A gente já sabe os valores experimentais de
Conteúdo: Física atômica – modelo de Bohr, energia de níveis, massa reduzida e fórmula de Rydberg. Vamos precisar das fórmulas de energia do Bohr, definição de massa reduzida
Passo 2
Derivando
(parte a):
- No modelo de Bohr, o elétron gira em órbita de raio
e energia total
onde
é a massa reduzida
e
.
2) Quando o elétron salta de para
, a energia do fóton emitido é
2) Quando o elétron salta de
- A frequência do fóton é
. Para a série de Lyman (nível final ),\nos define o número de onda e obtém
- A constante de Rydberg
é o coeficiente de , isto é
- Substituindo
dá
(no sistema em que a velocidade da luz
já foi “absorvida” na definição de onda, fica exatamente
). Pronto, deduzimos a fórmula pedida.
Passo 3
Agora a parte (b). A gente sabe que
Logo, para hidrogênio (núcleo massa
) e para He
(núcleo
), vale
Definindo
, temos
. Substituindo:
Chama esse valor de
, que numericamente é
Igualando e resolvendo para
:
Resposta
A razão entre a massa do próton e a massa do elétron é aproximadamente