Levando em conta o modelo de Bohr:
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
RH=pi^2 e^42 h^3 mu ;
(b) Os valores da constante de Rydberg para o hidrogênio e para o íon de hélio, levando em conta as massas reduzidas, são respectivamente, RH(H)=10967757,6 m^-1 e RH(H e)= 10972226,3 m^-1. Sabendo que a relação entre as massas dos núcleos desses elementos é MH e=3,9726 MH, calcule a razão entre a massa do próton e a massa do elétron.

Passo 1

Então, a questão é sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio.
(a) Pede pra deduzir a fórmula da constante de Rydberg
RH ;=;pi^2 e^42h^3,mu
usando o modelo de Bohr (energia dos níveis, quantização do momento angular etc.).
(b) A gente já sabe os valores experimentais de para H e para He (levando em conta a massa reduzida), e a razão entre as massas nucleares . Com isso, pede pra achar a razão (próton sobre elétron).
Conteúdo: Física atômica – modelo de Bohr, energia de níveis, massa reduzida e fórmula de Rydberg. Vamos precisar das fórmulas de energia do Bohr, definição de massa reduzida e um pouco de álgebra.

Passo 2

Derivando En = -mu e^42hbar^2,1n^2, (parte a):
  1. No modelo de Bohr, o elétron gira em órbita de raio De e energia total
tildenu = De
onde RH = mu e^42hhbar^2 c é a massa reduzida RH = mu e^42h ,l(h/(2pi)r)^2,c = mu e^42h,(2pi)^2h^2,1c = pi^2 e^42h^3,mu;times;1ctimes c e .
2) Quando o elétron salta de para , a energia do fóton emitido é
  1. A frequência do fóton é . Para a série de Lyman (nível final ),\nos define o número de onda e obtém
  1. A constante de Rydberg é o coeficiente de , isto é
  1. Substituindo
(no sistema em que a velocidade da luz já foi “absorvida” na definição de onda, fica exatamente ). Pronto, deduzimos a fórmula pedida.

Passo 3

Agora a parte (b). A gente sabe que
RH propto mu = me Mme + M
Logo, para hidrogênio (núcleo massa RH(H)RH(He) = muHmuHe = me MHme + MH me MHeme + MHe = MH/(MH+me)MHe/(MHe+me) ) e para He RH(H)RH(He) = x/(x+1)3,9726,x/(3,9726,x+1) = x,(3,9726,x+1)(x+1),3,9726,x (núcleo rho = 10967757,610972226,3approx 0,999593 ), vale
rhol(3,9726,x^2 + 3,9726,xr) = 3,9726,x^2 + x Longrightarrow x approx 1836
Definindo , temos . Substituindo:
Chama esse valor de , que numericamente é
Igualando e resolvendo para :

Resposta

A razão entre a massa do próton e a massa do elétron é aproximadamente
boxedMpme approx 1836

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