Uma partícula que tem vetor posição \overrightarrow{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{t})=\left(\mathbf{2} \boldsymbol{t}^{\mathbf{2}}-\mathbf{5} \boldsymbol{t}\right) \hat{\boldsymbol{i}}+\left(\mathbf{3} \boldsymbol{t}-\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\right) \hat{\boldsymbol{j}}.
a) Determine as expressões de \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{t}) e \overrightarrow{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{t}).
b) Em que instante o movimento é puramente vertical?
c) Calcule o módulo da velocidade nesse instante.

Passo 1

O enunciado fornece o vetor posição da partícula e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido, sem resolver ainda.
  • Dado: o vetor posição é
\overrightarrow{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{t})=\bigl(2\boldsymbol{t}^{2}-5\boldsymbol{t}\bigr)\,\hat{\boldsymbol{i}}+\bigl(3\boldsymbol{t}-2^{2}\bigr)\,\hat{\boldsymbol{j}}.
Observação explícita: peguei a componente j do próprio enunciado como 3\boldsymbol{t}-2^{2}, ou seja, 3\boldsymbol{t}-4.
  • Perguntas:
    a) Determine as expressões de \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{t}) e \overrightarrow{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{t}).
    b) Em que instante o movimento é puramente vertical?
    c) Calcule o módulo da velocidade nesse instante.

Passo 2

Conceito importante e regra prática (a mini-aula): a velocidade vetorial é a derivada temporal do vetor posição. Ou seja, para qualquer vetor posição \overrightarrow{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{t}),
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{t})=\frac{d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}{d\boldsymbol{t}}.
Na prática, derivamos componente a componente: a derivada de uma função escalar que multiplica \hat{\boldsymbol{i}} dá a componente v_x, e o mesmo para \hat{\boldsymbol{j}}. Regras de derivação que usaremos:
  • \dfrac{d}{d\boldsymbol{t}}\bigl(\boldsymbol{t}^n\bigr)=n\boldsymbol{t}^{\,n-1}.
  • \dfrac{d}{d\boldsymbol{t}}\bigl(a\boldsymbol{t}\bigr)=a quando a é constante.
  • \dfrac{d}{d\boldsymbol{t}}(\text{constante})=0.

Passo 3

Aplicando a derivada componente a componente ao vetor posição para obter a velocidade:
  • Para a componente x: derive 2\boldsymbol{t}^{2}-5\boldsymbol{t}.
    \frac{d}{d\boldsymbol{t}}\bigl(2\boldsymbol{t}^{2}-5\boldsymbol{t}\bigr)=2\cdot 2\boldsymbol{t}^{1}-5=4\boldsymbol{t}-5.
    (Usei \dfrac{d}{d\boldsymbol{t}}(\boldsymbol{t}^2)=2\boldsymbol{t} e multiplicação por 2.)
  • Para a componente y: derive 3\boldsymbol{t}-4.
    \frac{d}{d\boldsymbol{t}}\bigl(3\boldsymbol{t}-4\bigr)=3.
    (A derivada de -4 é zero.)
Portanto, a velocidade vetorial é
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{t})=\bigl(4\boldsymbol{t}-5\bigr)\,\hat{\boldsymbol{i}}+3\,\hat{\boldsymbol{j}}.
Explicação física rápida: a componente v_x=4\boldsymbol{t}-5 varia com o tempo; a componente v_y é constante e igual a 3.

Passo 4

Agora a aceleração: aceleração vetorial é a derivada temporal da velocidade,
\overrightarrow{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{t})=\frac{d\overrightarrow{\boldsymbol{v}}}{d\boldsymbol{t}}.
Derivamos cada componente de \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{t}):
  • \dfrac{d}{d\boldsymbol{t}}\bigl(4\boldsymbol{t}-5\bigr)=4.
  • \dfrac{d}{d\boldsymbol{t}}(3)=0.
Logo,
\overrightarrow{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{t})=4\,\hat{\boldsymbol{i}}+0\,\hat{\boldsymbol{j}}=4\,\hat{\boldsymbol{i}}.
Interpretação: a aceleração é constante, dirigida ao longo do eixo x, módulo 4 (unidades do problema).

Passo 5

Para que o movimento seja puramente vertical, a componente horizontal da velocidade deve ser zero (porque movimento puramente vertical significa não haver velocidade na direção x). Então impomos
v_x(\boldsymbol{t})=4\boldsymbol{t}-5=0.
Resolva para \boldsymbol{t}:
4\boldsymbol{t}-5=0 \quad\Rightarrow\quad 4\boldsymbol{t}=5 \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{t}=\frac{5}{4}.
Interpretação: no instante \boldsymbol{t}=\dfrac{5}{4} (ou 1{,}25 nas mesmas unidades de tempo do enunciado), a velocidade tem componente x nula e portanto o movimento é puramente vertical.

Passo 6

Agora calcule o módulo (o “tamanho”) da velocidade nesse instante. Fórmula do módulo de um vetor bidimensional: se \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=(v_x)\,\hat{\boldsymbol{i}}+(v_y)\,\hat{\boldsymbol{j}}, então
\lVert\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\rVert=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
No instante \boldsymbol{t}=\dfrac{5}{4} temos:
  • v_x\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)=4\cdot\frac{5}{4}-5=5-5=0.
  • v_y\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)=3 (constante).
Logo o módulo é
\lVert\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\rVert=\sqrt{0^{2}+3^{2}}=\sqrt{9}=3.
Significado: a velocidade é vertical para cima (porque v_y=+3) com módulo 3.

Resposta

a) \displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{t})=\bigl(4\boldsymbol{t}-5\bigr)\,\hat{\boldsymbol{i}}+3\,\hat{\boldsymbol{j}} \
\displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{t})=4\,\hat{\boldsymbol{i}}
b) \displaystyle \boldsymbol{t}=\frac{5}{4}
c) \displaystyle \lVert\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\rVert=3

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