Uma partícula que tem vetor posição
.
a) Determine as expressões de
e
.
b) Em que instante o movimento é puramente vertical?
c) Calcule o módulo da velocidade nesse instante.
a) Determine as expressões de
b) Em que instante o movimento é puramente vertical?
c) Calcule o módulo da velocidade nesse instante.
Passo 1
O enunciado fornece o vetor posição da partícula e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido, sem resolver ainda.
- Dado: o vetor posição é
Observação explícita: peguei a componente
do próprio enunciado como
, ou seja,
.
- Perguntas:
a) Determine as expressões dee .
b) Em que instante o movimento é puramente vertical?
c) Calcule o módulo da velocidade nesse instante.
Passo 2
Conceito importante e regra prática (a mini-aula): a velocidade vetorial é a derivada temporal do vetor posição. Ou seja, para qualquer vetor posição
,
Na prática, derivamos componente a componente: a derivada de uma função escalar que multiplica
dá a componente
, e o mesmo para
. Regras de derivação que usaremos:
-
. -
quando é constante. -
.
Passo 3
Aplicando a derivada componente a componente ao vetor posição para obter a velocidade:
-
Para a componente
: derive . (Useie multiplicação por 2.) -
Para a componente
: derive . (A derivada deé zero.)
Portanto, a velocidade vetorial é
Explicação física rápida: a componente
varia com o tempo; a componente
é constante e igual a
.
Passo 4
Agora a aceleração: aceleração vetorial é a derivada temporal da velocidade,
Derivamos cada componente de
:
-
. -
.
Logo,
Interpretação: a aceleração é constante, dirigida ao longo do eixo
, módulo
(unidades do problema).
Passo 5
Para que o movimento seja puramente vertical, a componente horizontal da velocidade deve ser zero (porque movimento puramente vertical significa não haver velocidade na direção
). Então impomos
Resolva para
:
Interpretação: no instante
(ou
nas mesmas unidades de tempo do enunciado), a velocidade tem componente
nula e portanto o movimento é puramente vertical.
Passo 6
Agora calcule o módulo (o “tamanho”) da velocidade nesse instante. Fórmula do módulo de um vetor bidimensional: se
, então
No instante
temos:
-
. -
(constante).
Logo o módulo é
Significado: a velocidade é vertical para cima (porque
) com módulo
.
Resposta
a)
\
b)
c)