A posição de uma partícula é dada por
, em metros.
a) Determine
e
.
b) Encontre o instante em que a velocidade é nula.
c) Classifique o movimento (acelerado, retardado ou uniforme) em cada intervalo.
a) Determine
b) Encontre o instante em que a velocidade é nula.
c) Classifique o movimento (acelerado, retardado ou uniforme) em cada intervalo.
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
em metros. As perguntas são:
- (a) Determinar
e . - (b) Encontrar o instante em que a velocidade é nula.
- (c) Classificar o movimento (acelerado, retardado ou uniforme) em cada intervalo de tempo relevante.
Informações relevantes dadas: a função posição
é um polinômio em
. Não foi especificado domínio diferente de todos os números reais, portanto vamos considerar
como variável real (se for necessário, para física costuma-se tomar
).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar regras básicas de derivação para polinômios (a “aula rápida” que você pediu):
- Regra do poder: a derivada de
é . Aqui é um número inteiro positivo. - Regra da constante multiplicativa: a derivada de
é , isto é, podemos puxar constantes para fora da derivada. - Derivada da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
Aplicando isso, para cada termo do polinômio
calculamos a derivada termo a termo:
- Derivada de
: puxamos o e aplicamos a regra do poder: . - Derivada de
: . - Derivada de
: .
Somando as derivadas dos termos teremos a velocidade.
Passo 3
Com os cálculos do passo anterior, obtemos a velocidade:
Expliquei antes o que cada parte significa:
é a derivada temporal de
e dá a rapidez com sinal (velocidade) da partícula.
Passo 4
Agora encontramos a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou segunda derivada da posição). Aplicamos novamente a regra do poder e da constante:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Portanto,
Passo 5
Resposta da letra (a) já obtida:
e
.
Agora vamos à letra (b): procurar instantes em que a velocidade é nula, ou seja resolver a equação
Para resolver uma equação quadrática usamos o discriminante
, onde aqui
,
,
. Calculamos:
Como
, a equação quadrática não tem raízes reais. Conclusão: não existe tempo real
tal que
. Em palavras: a velocidade nunca fica nula (para
real).
Passo 6
Um comentário extra para fixar: quando uma parábola
tem
e discriminante negativo (
), o valor da parábola é sempre positivo para todo
. Aqui
e
, logo
para todo
. Podemos verificar com um valor fácil:
, consistente.
Passo 7
Agora a letra (c): classificar o movimento em acelerado/retardado/uniforme. Primeiro explico o critério (aula curta e prática):
- Em movimento unidimensional, o módulo da velocidade (a rapidez) aumenta quando a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal; então dizemos que o movimento está “acelerado” (velocidade aumentando).
- Se a velocidade e a aceleração têm sinais opostos, o módulo da velocidade diminui; dizemos “retardado” (desaceleração).
- Se a aceleração é zero em um intervalo, o movimento é uniforme (velocidade constante). Se a aceleração é zero só em um instante isolado, isso não define um intervalo de movimento uniforme — é só um instante de transição.
No nosso caso vimos que
para todo
. Então o sinal de
determina se o módulo da velocidade aumenta ou diminui:
- Achamos
. Igualando a zero:
- Para
escolhemos, por exemplo, : . Logo para a aceleração é negativa. - Para
escolhemos, por exemplo, : . Logo para a aceleração é positiva.
Como
sempre:
- Para
: e têm sinais opostos → módulo da velocidade está diminuindo → movimento retardado (desaceleração). - Em
: . É um instante em que a aceleração passa de negativa para positiva; não é um intervalo de movimento uniforme, é um instante de transição em que a velocidade tem derivada zero. - Para
: e têm mesmo sinal → módulo da velocidade aumentando → movimento acelerado.
Passo 8
Recapitulando de forma prática (para você decorar na prova): calcule
e
. Se
então acelerado; se
então retardado; se
em um intervalo então uniforme. Aplicando isso ao nosso caso dá a classificação feita no passo anterior.
Resposta
(a)
(b) Não existe instante real em que
(a equação tem discriminante
).
(c) Para
: movimento retardado.
: aceleração nula (instante de transição).
Para : movimento acelerado.
Para