A posição de uma partícula é dada por \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=\mathbf{3 t}^{\mathbf{3}}-\mathbf{4 t}^{\mathbf{2}}+\mathbf{2 t}, em metros.
a) Determine \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t}) e \boldsymbol{a}(\boldsymbol{t}).
b) Encontre o instante em que a velocidade é nula.
c) Classifique o movimento (acelerado, retardado ou uniforme) em cada intervalo.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t}) = \mathbf{3 t}^{\mathbf{3}} - \mathbf{4 t}^{\mathbf{2}} + \mathbf{2 t},
em metros. As perguntas são:
  • (a) Determinar \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t}) e \boldsymbol{a}(\boldsymbol{t}).
  • (b) Encontrar o instante em que a velocidade é nula.
  • (c) Classificar o movimento (acelerado, retardado ou uniforme) em cada intervalo de tempo relevante.
Informações relevantes dadas: a função posição \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t}) é um polinômio em t. Não foi especificado domínio diferente de todos os números reais, portanto vamos considerar t como variável real (se for necessário, para física costuma-se tomar t\ge 0).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar regras básicas de derivação para polinômios (a “aula rápida” que você pediu):
  • Regra do poder: a derivada de \,t^{n}\, é \,n\,t^{n-1}\,. Aqui n é um número inteiro positivo.
  • Regra da constante multiplicativa: a derivada de c\cdot f(t) é c\cdot f'(t), isto é, podemos puxar constantes para fora da derivada.
  • Derivada da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
Aplicando isso, para cada termo do polinômio \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t}) = 3t^{3} - 4t^{2} + 2t calculamos a derivada termo a termo:
  • Derivada de 3t^{3}: puxamos o 3 e aplicamos a regra do poder: 3 \cdot 3 t^{2} = 9 t^{2}.
  • Derivada de -4t^{2}: -4 \cdot 2 t^{1} = -8 t.
  • Derivada de 2t: 2 \cdot 1 = 2.
Somando as derivadas dos termos teremos a velocidade.

Passo 3

Com os cálculos do passo anterior, obtemos a velocidade:
\boldsymbol{v}(\boldsymbol{t}) = 9t^{2} - 8t + 2.
Expliquei antes o que cada parte significa: \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t}) é a derivada temporal de \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t}) e dá a rapidez com sinal (velocidade) da partícula.

Passo 4

Agora encontramos a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou segunda derivada da posição). Aplicamos novamente a regra do poder e da constante:
  • Derivada de 9t^{2} é 9\cdot 2 t = 18t.
  • Derivada de -8t é -8.
  • Derivada de 2 (constante) é 0.
Portanto,
\boldsymbol{a}(\boldsymbol{t}) = 18t - 8.

Passo 5

Resposta da letra (a) já obtida: \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t}) = 9t^{2}-8t+2 e \boldsymbol{a}(\boldsymbol{t}) = 18t-8.
Agora vamos à letra (b): procurar instantes em que a velocidade é nula, ou seja resolver a equação
9t^{2}-8t+2 = 0.
Para resolver uma equação quadrática usamos o discriminante \Delta = b^{2}-4ac, onde aqui a=9, b=-8, c=2. Calculamos:
\Delta = (-8)^{2} - 4\cdot 9 \cdot 2 = 64 - 72 = -8.
Como \Delta < 0, a equação quadrática não tem raízes reais. Conclusão: não existe tempo real t tal que \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t})=0. Em palavras: a velocidade nunca fica nula (para t real).

Passo 6

Um comentário extra para fixar: quando uma parábola at^{2}+bt+c tem a>0 e discriminante negativo ( \Delta<0), o valor da parábola é sempre positivo para todo t. Aqui a=9>0 e \Delta=-8<0, logo \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t})>0 para todo t\in\mathbb{R}. Podemos verificar com um valor fácil: \boldsymbol{v}(0)=2>0, consistente.

Passo 7

Agora a letra (c): classificar o movimento em acelerado/retardado/uniforme. Primeiro explico o critério (aula curta e prática):
  • Em movimento unidimensional, o módulo da velocidade (a rapidez) aumenta quando a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal; então dizemos que o movimento está “acelerado” (velocidade aumentando).
  • Se a velocidade e a aceleração têm sinais opostos, o módulo da velocidade diminui; dizemos “retardado” (desaceleração).
  • Se a aceleração é zero em um intervalo, o movimento é uniforme (velocidade constante). Se a aceleração é zero só em um instante isolado, isso não define um intervalo de movimento uniforme — é só um instante de transição.
No nosso caso vimos que \boldsymbol{v}(t)>0 para todo t. Então o sinal de \boldsymbol{a}(t) determina se o módulo da velocidade aumenta ou diminui:
  • Achamos \boldsymbol{a}(t)=18t-8. Igualando a zero:
18t-8=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\approx 0{,}444\ldots
  • Para t<\tfrac{4}{9} escolhemos, por exemplo, t=0: \boldsymbol{a}(0)=-8<0. Logo para t<\tfrac{4}{9} a aceleração é negativa.
  • Para t>\tfrac{4}{9} escolhemos, por exemplo, t=1: \boldsymbol{a}(1)=10>0. Logo para t>\tfrac{4}{9} a aceleração é positiva.
Como \boldsymbol{v}(t)>0 sempre:
  • Para t<\tfrac{4}{9}: \boldsymbol{v}>0 e \boldsymbol{a}<0 têm sinais opostos → módulo da velocidade está diminuindo → movimento retardado (desaceleração).
  • Em t=\tfrac{4}{9}: \boldsymbol{a}=0. É um instante em que a aceleração passa de negativa para positiva; não é um intervalo de movimento uniforme, é um instante de transição em que a velocidade tem derivada zero.
  • Para t>\tfrac{4}{9}: \boldsymbol{v}>0 e \boldsymbol{a}>0 têm mesmo sinal → módulo da velocidade aumentando → movimento acelerado.

Passo 8

Recapitulando de forma prática (para você decorar na prova): calcule \boldsymbol{v}(t)=x'(t) e \boldsymbol{a}(t)=v'(t). Se \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}>0 então acelerado; se \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}<0 então retardado; se \boldsymbol{a}=0 em um intervalo então uniforme. Aplicando isso ao nosso caso dá a classificação feita no passo anterior.

Resposta

(a) \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t}) = 9t^{2}-8t+2,\quad \boldsymbol{a}(\boldsymbol{t}) = 18t-8.
(b) Não existe instante real em que \boldsymbol{v}(\boldsymbol{t})=0 (a equação tem discriminante -8<0).
(c) Para t<\tfrac{4}{9}: movimento retardado.
t=\tfrac{4}{9}: aceleração nula (instante de transição).
Para t>\tfrac{4}{9}: movimento acelerado.

Exercícios relacionados