Partículas de lama são lançadas da periferia de uma roda que rola sem deslizar. Se a roda tiver uma velocidade para a frente
e se seu raio for
, mostrar que a maior altura acima do solo que a lama pode atingir é
Em que ponto da roda girante irá a lama abandoná-la?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre partículas de lama que são lançadas da borda de uma roda que está rolando sem deslizar. A roda tem uma velocidade para frente de $ v_{0} $ e um raio $ b $. Nosso objetivo é descobrir qual é a maior altura que a lama pode alcançar acima do solo e também determinar em que ponto da roda a lama vai se soltar. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento da lama quando ela é lançada. Quando a roda rola sem deslizar, a velocidade linear de um ponto na periferia da roda é igual à velocidade da roda $ v_{0} $. Assim, a velocidade inicial da lama assim que ela sai da roda é a mesma $ v_{0} $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a trajetória da lama após ser lançada. A altura máxima que a lama pode alcançar depende da energia cinética que ela tem no lançamento e da força da gravidade que vai desacelerar seu movimento para cima.
Passo 4
A energia cinética inicial da lama é dada por:
onde $ m $ é a massa da lama.
Passo 5
À medida que a lama sobe, ela ganha energia potencial gravitacional, que é:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ h $ é a altura alcançada.
Passo 6
No ponto mais alto da trajetória, toda a energia cinética se transforma em energia potencial. Então temos:
Simplificando $ m $ de ambos os lados:
Resolvendo para $ h $:
Passo 7
Mas atenção! A altura máxima não é apenas $ h $, mas também inclui o raio da roda $ b $, já que a lama é lançada a partir da periferia. Além disso, precisamos considerar a altura adicional devido à rotação da roda. Isso nos leva à expressão completa:
Passo 8
Agora, para determinar em que ponto da roda a lama irá se soltar, precisamos considerar a força centrípeta e a força gravitacional atuando na lama. A lama abandonará a roda quando a força centrípeta for igual à componente da força gravitacional que atua na direção do movimento circular. Isso ocorre quando a lama está no ponto mais alto da rotação, ou seja, na posição oposta à onde foi lançada.
Resposta
A maior altura que a lama pode atingir acima do solo é:
E a lama abandona a roda no ponto mais alto da sua rotação.