Partículas de lama são lançadas da periferia de uma roda que rola sem deslizar. Se a roda tiver uma velocidade para a frente v0 e se seu raio for b, mostrar que a maior altura acima do solo que a lama pode atingir é
b+v0^22 g+g b^22 v0^2
Em que ponto da roda girante irá a lama abandoná-la?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre partículas de lama que são lançadas da borda de uma roda que está rolando sem deslizar. A roda tem uma velocidade para frente de $ v_{0} $ e um raio $ b $. Nosso objetivo é descobrir qual é a maior altura que a lama pode alcançar acima do solo e também determinar em que ponto da roda a lama vai se soltar. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento da lama quando ela é lançada. Quando a roda rola sem deslizar, a velocidade linear de um ponto na periferia da roda é igual à velocidade da roda $ v_{0} $. Assim, a velocidade inicial da lama assim que ela sai da roda é a mesma $ v_{0} $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a trajetória da lama após ser lançada. A altura máxima que a lama pode alcançar depende da energia cinética que ela tem no lançamento e da força da gravidade que vai desacelerar seu movimento para cima.

Passo 4

A energia cinética inicial da lama é dada por:
Ecinética = 12 m v0^2 é
onde $ m $ é a massa da lama.

Passo 5

À medida que a lama sobe, ela ganha energia potencial gravitacional, que é:
Epotencial = m g h
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ h $ é a altura alcançada.

Passo 6

No ponto mais alto da trajetória, toda a energia cinética se transforma em energia potencial. Então temos:
12 m v0^2 = m g h
Simplificando $ m $ de ambos os lados:
m
Resolvendo para $ h $:
12 v0^2 = g h

Passo 7

Mas atenção! A altura máxima não é apenas $ h $, mas também inclui o raio da roda $ b $, já que a lama é lançada a partir da periferia. Além disso, precisamos considerar a altura adicional devido à rotação da roda. Isso nos leva à expressão completa:
h á

Passo 8

Agora, para determinar em que ponto da roda a lama irá se soltar, precisamos considerar a força centrípeta e a força gravitacional atuando na lama. A lama abandonará a roda quando a força centrípeta for igual à componente da força gravitacional que atua na direção do movimento circular. Isso ocorre quando a lama está no ponto mais alto da rotação, ou seja, na posição oposta à onde foi lançada.

Resposta

A maior altura que a lama pode atingir acima do solo é:
b + v0^22 g + g b^22 v0^2
E a lama abandona a roda no ponto mais alto da sua rotação.

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